Rozkład dwumianowy (w Polsce zwany też rozkładem Bernoulliego, choć w krajach anglojęzycznych termin Bernoulli distribution odnosi się do rozkładu zero-jedynkowego) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów
w ciągu
niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu równe
Pojedynczy eksperyment nosi nazwę próby Bernoulliego.
Szybkie fakty Parametry, Nośnik ...
Rozkład dwumianowy
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
|
Dystrybuanta
Kolory odpowiadają wykresowi powyżej |
Parametry |
liczba prób (liczba całkowita)
prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista)
|
Nośnik |
![{\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c937faa24e82dd9b2d30668b83355e93f7a373b)
|
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa |
![{\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334c6fe42e89d5129b0d6d70b595edb1c572265c)
|
Dystrybuanta |
![{\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3014e486c080b83560eb5f876531d55949f6bb04)
|
Wartość oczekiwana (średnia) |
![{\displaystyle np}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6eb41e0e5e136f594b1a703d2f371d9a5e0c27)
|
Mediana |
jedna z ![{\displaystyle \{\lfloor np\rfloor -1,{}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80e8cce1b30bc2aa2bd53e5df4fd58bb1df0e0d) ![{\displaystyle \lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfda3a0dc058349ce1a61f72b883745930c9f360) |
Moda |
![{\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bbbca9031afa3c42c8d3ed2d49432f73f729729)
|
Wariancja |
![{\displaystyle np(1-p)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f093250a1d822df677a03ac8aa78c6a8029866)
|
Współczynnik skośności |
![{\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43fb738bf588b4cd915d98195b64b5c274dfe61)
|
Kurtoza |
![{\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c21cc7952fe9e6fbe001e2339d9f3d021846d3)
|
Entropia |
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln(2\pi nep(1-p))\,{}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/791555f406f4dd5ee11039a678e42bf834294075) ![{\displaystyle {}+O\left({\frac {1}{n}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2394ee0570f2e7e85f5925830a0454f96dcbce17)
|
Funkcja tworząca momenty |
![{\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd9001eff48b6efb6779c428c96923648ffc5ca)
|
Funkcja charakterystyczna |
![{\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd07265d9837b2d2e1775565cbec7e24e5c21e5)
|
Odkrywca |
George Udny Yule (1911) |
Zamknij
Innym rozkładem, który opisuje liczbę sukcesów w ciągu
prób, jest rozkład hipergeometryczny. W tym przypadku jednak próby nie są niezależne (próba bez zwracania).
Jeśli
i
są dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie dwumianowym, wtedy ich suma
jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowym danym wzorem:
![{\displaystyle B\left(n+m,p\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1575a82687e91e8bb09bedd5e827bb46e413535)
W zależności od wartości parametrów rozkład dwumianowy można przybliżać innymi z rozkładów:
- Jeśli zarówno
jak i
są większe od 5, wtedy rozkład dwumianowy można przybliżać rozkładem normalnym[1]:
czyli ![{\displaystyle N\left(np,\sigma ={\sqrt {np\left(1-p\right)}}\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3049cf899aaa67ed406d8ecdbba14b8ea1992057)
- Jeśli
jest duże, a
jest małe (czyli
ma umiarkowanie dużą wartość), dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego jest rozkład Poissona z parametrem ![{\displaystyle \lambda =np.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27d5a9bb511478309923db6dab81525a1d8ae54)