Reguła znaków Kartezjusza

Reguła znaków Kartezjusza – twierdzenie algebry dotyczące wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Mówi ono o liczbie dodatnich miejsc zerowych takich funkcji, a w konsekwencji pozwala oszacować też liczbę pierwiastków ujemnych, wszystkich rzeczywistych oraz z innego zakresu. W pewnych przypadkach reguła ta podaje dokładną liczbę miejsc zerowych w niektórych przedziałach, np. o określonym znaku.

Przykład zachodzenia reguły znaków: podany wielomian ma dwie zmiany znaków w kolejnych członach (+4x−15x², −5x³+3x⁴) i dwa pierwiastki dodatnie (x = 1, 2).

Kartezjusz, fr. René Descartes (1596–1650)

Reguła znaków mówi o wielomianach jednej zmiennej rzeczywistej o rzeczywistych współczynnikach ${\displaystyle (f\in \mathbb {R} [X]),}$ uporządkowanych według malejących potęg zmiennej: ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0}.}$ Twierdzenie to szacuje liczbę ${\displaystyle p}$ dodatnich pierwiastków tego wielomianu ${\displaystyle (f(x_{0})=0,x_{0}>0),}$ liczonych wraz z krotnością. Reguła znaków wiąże ${\displaystyle p}$ z liczbą ${\displaystyle s}$ zmian znaków między kolejnymi niezerowymi współczynnikami wielomianu; zgodnie z twierdzeniem ${\displaystyle p}$ jest równe ${\displaystyle s}$ lub mniejsze od niego o liczbę parzystą: ${\displaystyle p\leqslant s,\ 2|(s-p),}$ krótko: ${\displaystyle s-p\in 2\mathbb {N} .}$ W szczególności: jeśli ${\displaystyle s}$ wynosi zero lub jeden, to również ${\displaystyle p}$ wynosi odpowiednio zero lub jeden^[1].

Problem ten badał Kartezjusz^[2]; w dziele Geometria przedstawił tę regułę, choć pierwszy poświadczony dowód jest późniejszy. Podał go w XVIII wieku Jean Paul de Gua de Malves, a pełne sformułowanie – opisane niżej – podał w XIX wieku Carl Friedrich Gauss^[3]. Twierdzenie to można udowodnić, korzystając z indukcji matematycznej, twierdzenia Rolle’a i własności pochodnych wielomianów^[1]. Nazwa reguły pojawiła się najpóźniej w 1809 roku w języku angielskim^[4].

Uogólnieniem tego faktu jest twierdzenie Sturma, znajdujące liczbę pierwiastków wielomianu rzeczywistego w dowolnym przedziale liczbowym – nie tylko w dwóch nieskończonych przedziałach wszystkich liczb dodatnich ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+})}$ lub ujemnych ${\displaystyle (\mathbb {R} _{-}).}$

Przykłady

Przykład trójmianu kwadratowego

W wielomianie

${\displaystyle f(x)=x^{2}-2x+1}$

mamy dwie zmiany znaku, zatem nasz wielomian ma zero lub dwa dodatnie pierwiastki. W istocie ma jeden dwukrotny: ${\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}.}$

Przykład funkcji kubicznej

W wielomianie

${\displaystyle g(x)=x^{3}+x^{2}-x-1}$

zachodni jedna zmiana znaku – między drugim a trzecim składnikiem ${\displaystyle (+x^{2}-x).}$ Stąd wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Widać to wyraźnie po rozłożeniu wielomianu na czynniki:

${\displaystyle g(x)=(x+1)^{2}(x-1),}$

−1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, jedynym dodatnim jest 1.

Zmieniając znak na przeciwny przy nieparzystych potęgach wielomianu, otrzymuje się wielomian:

${\displaystyle g(-x)=-x^{3}+x^{2}+x-1.}$

Tu znak zmienia się dwukrotnie, między pierwszym a drugim oraz między trzecim a czwartym składnikiem. Zatem wielomian wyjściowy ma dwa lub zero pierwiastków ujemnych.

Przykład wielomianu 4. stopnia

Podobnie, kolejne współczynniki wielomianu:

${\displaystyle h(x)=x^{4}+2x^{3}-x^{2}+5x-1}$

mają znaki: +, +, −, +, −,, tzn. znak zmienia się trzy razy. Zgodnie z regułą Kartezjusza wielomian ma bądź trzy, bądź jeden pierwiastek dodatni. Ponieważ po zastąpieniu ${\displaystyle x}$ przez ${\displaystyle -x}$ pierwiastki wielomianu zmieniają znaki, a po zastąpieniu ${\displaystyle x}$ przez ${\displaystyle x+h}$ pierwiastki zmniejszają się o ${\displaystyle h,}$ to za pomocą reguły Kartezjusza można również oszacować liczbę pierwiastków większych od ${\displaystyle h.}$ W powyższym przykładzie zastąpienie ${\displaystyle x}$ przez ${\displaystyle -x}$ daje:

${\displaystyle h(-x)=x^{4}-2x^{3}-x^{2}-5x-1,}$

tzn. wyjściowy wielomian ma jeden pierwiastek ujemny, a zastąpienie ${\displaystyle x}$ przez ${\displaystyle x+1}$ daje:

${\displaystyle x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+13x+6,}$

skąd wniosek, że dany wielomian nie ma pierwiastków większych od 1.

Konsekwencje i zastosowania

Reguła ta umożliwia też oszacowanie liczby ${\displaystyle q}$ ujemnych pierwiastków wielomianu ${\displaystyle f}$^[3][5]. Sprowadza się to do sprawdzenia analogicznej wielkości ${\displaystyle s_{-}}$ dla wielomianu ${\displaystyle f(-x),}$ czyli po zmianie na przeciwne znaków współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej: ${\displaystyle f(-x)=a_{0}-a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}(-x)^{n}.}$ Ponadto zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że łączna liczba zespolonych pierwiastków wielomianu – licząc krotności – jest równa jego stopniowi ${\displaystyle (\deg f),}$ co pozwala znaleźć też liczbę pierwiastków poza osią rzeczywistą ${\displaystyle (x_{0}\notin \mathbb {R} ){:}}$ ${\displaystyle n-p-q.}$ Jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu są rzeczywiste ${\displaystyle (p+q=n),}$ to ${\displaystyle p=s}$^[6].

Przypisy

1. MichałM. Tarnowski MichałM., Reguła znaków Kartezjusza, „Delta”, czerwiec 2023, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-03-19].
2. Sęp 1972 ↓, s. 48.
3. Descartes’s rule of signs, [w:] Encyclopædia Britannica [dostęp 2022-03-21] (ang.).
4. Jeff Miller, Descartes’ rule of signs, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-06-06].
5. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Descartes’ Sign Rule, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-03-21].
6. Descartes theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-03-21].

Bibliografia

• Zbigniew Sęp: Descartes (Kartezjusz) René, [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.

Literatura dodatkowa

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wydawnictwo Naukowe PWN. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Xiaoshen Wang, A Simple Proof of Descartes’s Rule of Signs (ang.), The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 6 (Jun. – Jul., 2004), pp. 525-526, Taylor & Francis, Ltd. [dostęp 2023-06-05].

Encyklopedie internetowe (twierdzenie):

• Britannica: topic/Descartess-rule-of-signs
• DSDE: Descartes'_fortegnsregel