Przestrzeń regularna i przestrzeń
to terminy w topologii odnoszące się do tej samej lub bardzo pokrewnych własności oddzielania.
Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń regularna i przestrzeń
w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje
- przestrzeń regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte, oraz
- przestrzeń
jako przestrzeń regularną która jest także przestrzenią T1.
Z drugiej strony Engelking definiuje[2]
- bycie przestrzenią
i bycie przestrzenią regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni regularnej).
Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.
- Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest
W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
- Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią regularną, ale istnieją przestrzenie regularne które nie są
Na przykład rozważmy podzbiór
płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze
wprowadzamy topologię
przez określenie bazy otoczeń
w każdym punkcie
- jeśli
to ![{\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)=\{\{(x,y)\}\},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c33b732fad3b3534b078611e21f32f811356b79)
- jeśli
to
składa się ze wszystkich zbiorów postaci
gdzie
jest zbiorem skończonym,
gdzie ![{\displaystyle U_{i}=\{(0,-1)\}\cup \{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}:i\leqslant u\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a425f9e55f752589971fba8ca2eaf713921fda5)
- Wtedy
jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.
- Istnieją przestrzenie
które nie są
Rozważmy na przykład zbiór
z topologią
otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na
o zbiór
Wtedy
jest przestrzenią Hausdorffa, która nie jest regularna.
- Przestrzeń topologiczna
spełniająca warunek
jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy
- dla każdego punktu
i jego otoczenia otwartego
(tak więc
) istnieje otoczenie
punktu
którego domknięcie jest zawarte w
(tzn.
).
- Każda regularna przestrzeń topologiczna
która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią normalną.
- Podzbiór przestrzeni
traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią
Własność być przestrzenią
jest więc własnością dziedziczną.
- Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni
jest przestrzenią ![{\displaystyle T_{3}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2425058d811ec7134af946217cbcba0ada7a21)
Kazimierz Kuratowski, Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 52.