Prawo kontrapozycji

Prawo kontrapozycji, prawo transpozycji^[2][3][4] – prawo rachunku zdań^[5] (tautologia^[6]) mówiące o równoważności dwóch rodzajów implikacji:

${\displaystyle (p\Rightarrow q)\iff (\neg q\Rightarrow \neg p).}$

Zawieranie się jednego zbioru w drugim oznacza, że dopełnienie drugiego zawiera się w dopełnieniu pierwszego^[1]: ${\displaystyle B\subset A\iff A'\subset B'.}$

Są one nazywane odpowiednio implikacją prostą oraz przeciwstawną^[7]. Czasem prawo transpozycji definiuje się nieco inaczej, nazywając tak każdą z czterech blisko związanych implikacji. Oprócz dwóch tworzących powyższą równoważność wyróżnia się też dwie inne^[8][9]:

${\displaystyle (p\Rightarrow \neg q)\Rightarrow (q\Rightarrow \neg p),}$

${\displaystyle (\neg p\Rightarrow q)\Rightarrow (\neg q\Rightarrow p).}$

Kontrapozycja to podstawa reguły wnioskowania modus tollens^[6], na przykład dowodów nie wprost^[10][11]. Jest przedstawiana na kwadracie logicznym przez przekątne. Była znana już w IV wieku p.n.e. – pojawia się w pismach Arystotelesa^[12][13]. Łacińska nazwa, na której opiera się ta polska, powstała najpóźniej w VI wieku – używa jej Boecjusz^[14].

Dowody

• Implikację ${\displaystyle (p\Rightarrow q)}$ można poddać kolejno przekształceniom^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle \neg p\lor q}$	(eliminacja implikacji),
${\displaystyle \neg p\lor \neg \neg q}$	(podwójne zaprzeczenie),
${\displaystyle \neg \neg q\lor \neg p}$	(przemienność alternatywy),
${\displaystyle \neg q\Rightarrow \neg p}$	(eliminacja implikacji). ∎

• Reguły tej można też dowodzić tak jak innych tautologii klasycznego rachunku zdań, odwołując się do matryc logicznych – niezależnie od wartości obu zmiennych wynikiem działania jest prawda^[6][15].

• Istnieją również dowody aksjomatyczne^[16].

Przykłady użycia

Liczby niewymierne takie jak pi (π) tworzą ułamki dziesiętne nieokresowe. Wynika to z faktu, że każdy okresowy ułamek dziesiętny oznacza liczbę wymierną.

Ruch Księżyca wokół Ziemi nie jest prostoliniowy. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że musi za tym stać jakaś siła; jest nią grawitacja.

Matematyka

• Jeśli jakaś liczba rzeczywista jest opisywana ułamkiem dziesiętnym okresowym, to jest wymierna. Oznacza to, że liczby niewymierne mają rozwinięcie dziesiętne nieokresowe.
• Brak właściwych dzielników zera w jakimś zbiorze, np. wśród liczb rzeczywistych, można wyrażać dwojako^[a]:

  ${\displaystyle ab=0\Rightarrow (a=0\vee b=0),}$

  ${\displaystyle (a\neq 0\land b\neq 0)\Rightarrow ab\neq 0.}$

• Istnieją dwie równoważne definicje funkcji różnowartościowej (iniekcji);
• istnieją dwie równoważne definicje liniowej niezależności układu wektorów;
• warunek konieczny sumowalności szeregu to zbieżność jego elementów do zera. Oznacza to, że jeśli jakiś ciąg nie zbiega do zera, to odpowiedni szereg jest rozbieżny. Przykładem jest szereg Grandiego;
• twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej można wyrazić przez kontrapozycję: jeśli w jakimś punkcie dziedziny funkcji istnieje niezerowa pochodna, to funkcja nie ma tam ekstremum.

Fizyka

• Pierwszą zasadę dynamiki można formułować dwojako; tej najczęstszej postaci równoważna jest inna^[17]: jeśli ciało nie porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym ani nie spoczywa, to działa na nie wypadkowa siła:

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\neq {\vec {0}}\Rightarrow {\vec {F}}_{w}\neq {\vec {0}};}$

Filozofia

• Paradoks czarnego kruka (paradoks Hempla) mówi, że implikacje można weryfikować przez weryfikację ich kontrapozycji, co przeczy intuicyjnemu rozumieniu weryfikacji i podważa wartość tego typu procedur.
• Kontrapozycja bywa używana w ontologicznych argumentach za wiarą w Boga^[18][19].

Inne znaczenie terminu

Czasem powyższa reguła jest znana jako transpozycja zwykła^[20] lub prosta; wtedy wyróżnia się też prawa transpozycji złożonej^[21][22]:

${\displaystyle ((p\land q)\Rightarrow r)\iff ((p\land \neg r)\Rightarrow \neg q).}$

Uwagi

1. W przekształceniu skorzystano też z prawa de Morgana negacji alternatywy, czasem zwanego drugim.