Loading AI tools
założenie definiujące geometrię euklidesową Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Postulat Euklidesa, postulat równoległości, piąty aksjomat Euklidesa – jeden z aksjomatów geometrii euklidesowej. Ma on postać[1]:
Nazwa piąty postulat jest nazwą historyczną, wynikającą z kolejności jego występowania w Elementach autorstwa Euklidesa. Spośród wielu określeń tego postulatu, określenie postulat Euklidesa, choć bardzo popularne, jest nieco mylące, bowiem każdy z pięciu postulatów jest postulatem Euklidesa i w równej mierze konstytuuje geometrię euklidesową.
Euklides w Elementach, zgodnie z metodologią Arystotelesowską, osobno wyliczał aksjomaty (tj. aksjomaty logiczne i identyczności w dzisiejszej terminologii) i postulaty (tj. aksjomaty pozalogiczne)[2]. We współczesnej metodologii nauk określeń postulat i aksjomat używa się zamiennie, stąd niekiedy piąty postulat nazywa się nieprecyzyjnie piątym aksjomatem Euklidesa.
Wyjątkowość piątego postulatu wynikała z tego, że od początku wydał się bardziej skomplikowany od pozostałych[uwaga 1]. Nasuwało to podejrzenia, że może on być wnioskiem z pozostałych, bowiem zgodnie z ówczesnymi wyobrażeniami każdy postulat powinien być prosty i oczywisty. Ponieważ piąty postulat nie był ani prosty, ani oczywisty, całe pokolenia matematyków próbowały go dowieść na podstawie pierwszych czterech. Wszystkie te próby – choć nie mogły się powieść – walnie przyczyniły się do uściślenia pojęć, wysublimowania metod dowodowych. Było to zagadnienie wytyczające przez wiele wieków kierunki rozwoju geometrii.
Na początku XVIII w. matematycy jak dotąd bezskutecznie zmagający się z problemem piątego postulatu zmienili podejście: zamiast podejmować kolejne próby jego dowodzenia, zaczęli starannie wyodrębniać twierdzenia wynikające z wyłącznie pierwszych czterech postulatów, a dołączając zaprzeczenie piątego postulatu, starali się uzyskać sprzeczność. Nieświadomie stworzyli przy tym podwaliny geometrii absolutnej, czyli geometrii opartej na pierwszych czterech postulatach Euklidesa. Największe zasługi mają tutaj Giovanni Gerolamo Saccheri[uwaga 2] i Lambert[uwaga 3].
Przez wiele lat podejmowane nieskuteczne próby znalezienia sprzeczności zrodziły najpierw podejrzenia, a potem przekonanie, że takiej sprzeczności po prostu nie ma, a teoria z zaprzeczonym piątym postulatem jest jak najbardziej poprawna (Gauss, Bolyai, Łobaczewski). Stworzenie przez Kleina modelu dla takiej teorii definitywnie zamknęło problem – aksjomat ten okazał się niezależny od pierwszych czterech.
Współcześnie geometria absolutna jest teorią, która ma dokładnie dwa rozszerzenia do teorii kategorycznej w zależności od tego, czy dołączy się do niej aksjomat Euklidesa o równoległych, czy też jego zaprzeczenie. W pierwszym przypadku jest to geometria euklidesowa, w drugim – geometria hiperboliczna.
W zasadzie aż do XVII w. wszystkie próby udowodnienia aksjomatu Euklidesa sprowadzały się do „przemycenia” zdania, które dowodzący uważał za wynikające z pierwszych czterech postulatów, a które okazywało się być zdaniem równoważnym piątemu postulatowi. Za każdym razem skutkowało to dalszym przedłużaniem listy takich zdań.
Oto wybór niektórych takich zdań, pominięto w nim oryginalny piąty postulat:
Równoważność powyżej zamieszczonych zdań polega na tym, że
Niektóre z powyższych zdań układają się w pary zdań równoważnych, dla których wynikanie w jedną stronę jest trywialne: [6]→ [13], [1]→ [12], wynikanie w drugą stronę wymaga jakiegoś dowodu, np. [12]→ [1] patrz[12].
Pierwszy z aksjomatów na powyższej liście jest afiniczną[13] wersją piątego postulatu:
Do danej prostej, przez dany punkt, można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną.
Jego zaletą jest to, że nie odwołuje się do pojęcia kąta prostego, odległości ani do pojęcia porządku[uwaga 6] (jak w czwartym z wymienionych na liście). Dlatego też jest również wykorzystywane w aksjomatykach geometrii afinicznej[14].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
