Loading AI tools
typy podzbiorów osi rzeczywistej lub niektórych innych przestrzeni Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Otoczenie – wieloznaczne pojęcie matematyczne, różnie definiowane w analizie i topologii. W każdym wypadku jest to pewien typ zbioru zawierającego dany punkt lub ustalony zbiór. Czasem wymaga się, by otoczenie było zbiorem otwartym[1].
Blisko powiązanym pojęciem jest sąsiedztwo punktu – otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego[2]. Jeśli jest otoczeniem punktu to jego sąsiedztwem nazywa się różnicę zbiorów[2][3]:
Za pomocą otoczeń i sąsiedztw definiuje się inne pojęcia matematyczne, np. część przedmiotów analizy jak ekstremum funkcji[4] i granice funkcji w punkcie[5][3].
Na prostej rzeczywistej otoczenie punktu definiuje się jako pewien typ przedziału otwartego; dokładne znaczenie zależy od kontekstu:
Oprócz tego dla każdego punktu definiuje się[2][6]:
Za pomocą sąsiedztw jednostronnych definiuje się granice jednostronne funkcji w punkcie[6].
W przestrzeni metrycznej z metryką otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.
jest otoczeniem punktu jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie i promieniu tj.
która jest zawarta w zbiorze
Otoczeniem jednostajnym zbioru w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór o tej własności, że istnieje taka liczba że dla każdego kula otwarta o środku w punkcie i promieniu tj.
jest zawarta w zbiorze
Innymi słowy, zbiór jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru
Niech będzie elementem przestrzeni topologicznej Zbiór jest otoczeniem punktu gdy istnieje zbiór otwarty dla którego
Innymi słowy, zbiór jest otoczeniem punktu jeśli gdzie oznacza wnętrze zbioru [7].
Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym – wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym itp.
Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt[1][8]. W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.
Niech jest podzbiorem Otoczeniem zbioru jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru
Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.
Jeżeli dla każdego punktu zbioru dana jest pewna rodzina podzbiorów zbioru spełniająca warunki:
to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera również pewien zbiór z rodziny
Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.
Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę złożoną ze zbioru oraz rodziny
zbiorów których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu ) zbioru spełniające następujące aksjomaty:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.