Loading AI tools
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Kumulanta to pojęcie z zakresu teorii prawdopodobieństwa i statystyki.
Kumulantami rozkładu prawdopodobieństwa nazywamy wielkości spełniające własność:
gdzie jest zmienną losową, dla rozkładu prawdopodobieństwa której obliczane są kumulanty. Innymi słowy, jest -tym współczynnikiem w rozwinięciu w szereg potęgowy logarytmu funkcji generującej momenty. Logarytm funkcji generującej momenty nazywany jest funkcją generującą kumulanty.
Problem kumulant to próba uzyskania funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa z jego ciągu kumulant. W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu nie istnieje, w niektórych istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, w niektórych więcej niż jedno rozwiązanie.
Zachodzą następujące własności:
gdzie jest stałą.
Oznacza to, że stałą dodajemy tylko do pierwszej kumulanty, wyższe kumulanty pozostają niezmienione.
Kumulanty są jednorodne stopnia n, to znaczy:
Jeśli i są niezależnymi zmiennymi losowymi, zachodzi:
Kumulanty są powiązane z momentami następującą zależnością:
-ty moment zwykły jest wielomianem -tego stopnia w pierwszych kumulantach, zatem:
Aby uzyskać wzory na zależność kumulant od momentów centralnych, należy we wszystkich wzorach opuścić składniki, gdzie występuje jako czynnik.
Kumulanty mają ciekawą interpretację kombinatoryczną: współczynniki definiują określone podziały zbioru. Ogólna postać tych wielomianów to:
gdzie:
Każdy jednomian to stała pomnożona przez iloczyn kumulant, w których suma indeksów wynosi (np. dla suma indeksów wynosi 3 + 2 + 2 + 1 = 8, pojawia się ona w wielomianie, który wyraża ósmą kumulantę za pomocą ośmiu pierwszych kumulant). Podziałowi liczby całkowitej odpowiadają poszczególne składniki. Współczynniki w każdym składniku to liczba podziałów -elementowego zbioru, które łączą się w podziały kiedy elementy zbioru stają się nierozróżnialne.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.