Interwał czasoprzestrzenny

Interwał czasoprzestrzenny – uogólnienie pojęcia odległości na czterowymiarową czasoprzestrzeń. W najprostszym przypadku czasoprzestrzeni Minkowskiego (w szczególnej teorii względności) wzór na interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami '1' i '2' ma postać^[1]:

${\displaystyle \Delta s_{12}^{2}=c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-[(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}],}$

(1)

gdzie:

${\displaystyle \Delta s_{12}^{2}}$ – interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami mierzony w inercjalnym układzie odniesienia;

${\displaystyle t_{1}}$ i ${\displaystyle t_{2}}$ – współrzędne czasowe zdarzeń '1' i '2', odpowiednio;

${\displaystyle x_{1},\,y_{1},\,z_{1}}$ i ${\displaystyle x_{2},\,y_{2},\,z_{2}}$ – odpowiednie współrzędne przestrzenne zdarzeń;

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni.

Dla bardzo małych różnic

${\displaystyle dt=t_{2}-t_{1},dx=x_{2}-x_{1},dy=y_{2}-y_{1},dz=z_{2}-z_{1}.}$

interwał można zapisać w postaci

${\displaystyle {\text{d}}s^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-({\text{d}}x^{2}+{\text{d}}y^{2}+{\text{d}}z^{2}).}$

(2)

Konwencja liczenia interwału

Istnieje również konwencja, w której do obliczenia interwału czasoprzestrzennego przy odstępie czasowym stawia się znak –, zaś część przestrzenna ma znak +. Jest to zależne od sygnatury tensora metrycznego. Powyższe wzory zakładają sygnaturę „+ − − −”.

Interwał jako wielkość geometryczna

Interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza^[1], tzn. obliczony w pewnym inercjalnym układzie odniesienia ma tę samą wartość w dowolnym, inercjalnym układzie odniesienia. Interwał jest więc wielkością geometryczną w czasoprzestrzeni, niezależną od przyjętego układu odniesienia. Odległości przestrzenne między zdarzeniami

${\displaystyle dr^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}$

oraz odległości czasowe między nimi ${\displaystyle dt}$ nie są zaś niezmiennikami transformacji Lorentza.

Interwał pełni więc w szczególnej teorii względności taką samą rolę, jak odległość przestrzenna między punktami w przestrzeni euklidesowej, która nie zależy od tego, w jakim układzie współrzędnych odległość ta jest mierzona. Jednak rzeczywistość fizyczną poprawnie opisuje teoria względności, a nie geometria euklidesowa.

Zapis tensorowy

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Korzystając z tensora metrycznego czasoprzestrzeni Minkowskiego ${\displaystyle \eta _{\mu \nu },}$ interwał czasoprzestrzenny można zapisać następująco:

${\displaystyle \Delta s^{2}=\eta _{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }=\Delta x_{\mu }\Delta x^{\mu }.}$

(3)

Dla różniczek interwał czasoprzestrzenny przyjmuje analogiczną postać:

${\displaystyle ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dx_{\mu }dx^{\mu }.}$

(4)

Interwał czasoprzestrzenny w ogólnej teorii względności można otrzymać poprzez zastąpienie tensora z przestrzeni Minkowskiego ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ przez tensor metryczny OTW ${\displaystyle g_{\mu \nu }{:}}$

${\displaystyle \Delta s^{2}=g_{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }=\Delta x_{\mu }\Delta x^{\mu }.}$

(5)

W ogólnej teorii względności interwał czasoprzestrzenny także jest niezmienniczy, czyli jego wartość jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, również w poruszających się z przyspieszeniem względem danego układu odniesienia.

Typy interwałów czasoprzestrzennych

Interwały czasoprzestrzenne dzielimy na:

• czasopodobne ${\displaystyle \Delta s_{12}^{2}>0,}$
• zerowe ${\displaystyle \Delta s_{12}^{2}=0,}$
• przestrzennopodobne ${\displaystyle \Delta s_{12}^{2}<0.}$

Interwały czasowe i zerowe opisują zdarzenia, które mogły mieć na siebie wpływ (informacja o jednym mogła dotrzeć do drugiego), przy czym interwał zerowy dotyczy dwóch punktów połączonych linią geodezyjną (uogólnieniem prostej w czasoprzestrzeni), czyli drogą, po której poruszają się fotony. Natomiast zdarzenia, między którymi interwał jest typu przestrzennego, nie są ze sobą powiązane przyczynowo-skutkowo, chyba że dopuścimy możliwość poruszania się szybciej niż światło.

Interwał jako pseudometryka

Interwał czasoprzestrzenny definiuje tzw. pseudometryką w czasoprzestrzeni. Jak podano wyżej, odległości między zdarzeniami w czasoprzestrzeni mogą być zarówno dodatnie (jak w zwykłej przestrzeni), ale też ujemne i zerowe między zdarzeniami oddalonymi od siebie.

Te dwie cechy odróżniają pseudometrykę od metryki, która określa odległości np. w przestrzeni euklidesowej: odległość przyjmuje wartość zerową jedynie dla tego samego punktu, a dla różnych punktów jest zawsze dodatnia.

Przypisy

1. Trautman 1969 ↓, s. 586.

Bibliografia

• Andrzej Trautman: Względności teoria. W: Wielka encyklopedia powszechna PWN. Wyd. I. T. 12. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 585–586.

Literatura dodatkowa

• L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, s. 20–26.
• Leonard Susskind, Art Friedeman, Teoretyczne minimum: Szczególna teoria względności i klasyczna teoria pola, Prószyński i S-ka, Warszawa 2019, s. 85–86.