Funkcja σ

Funkcja σ (sigma), niekiedy ${\displaystyle d(n)}$ – funkcja określona dla liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników danej liczby.

Przykładowo: ${\displaystyle \sigma (6)=1+2+3+6=12.}$

Sumę ${\displaystyle k}$-tych potęg dzielników oznacza się przez ${\displaystyle \sigma _{k}(n),}$ na przykład ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ to liczba dzielników danej liczby, znana również jako funkcja τ.

Liczby spełniające równanie ${\displaystyle \sigma (n)=2n}$ nazywa się liczbami doskonałymi, nierówność ${\displaystyle \sigma (n)>2n}$ nadmiarowymi, a nierówność ${\displaystyle \sigma (n)<2n}$ deficytowymi.

Twierdzenie

Jeśli ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ma rozkład na czynniki pierwsze postaci ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{k}^{\alpha _{k}},}$ to

${\displaystyle \sigma (n)={\frac {p_{1}^{\alpha _{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\cdot {\frac {p_{2}^{\alpha _{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {p_{k}^{\alpha _{k}+1}-1}{p_{k}-1}}.}$

Dowód

Każdy dzielnik naturalny liczby ${\displaystyle n}$ można przestawić w postaci:

${\displaystyle d=p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{k}^{\lambda _{k}},}$

gdzie:

${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {Z} ,\ 0\leqslant \lambda _{i}\leqslant \alpha _{i}.}$

(1)

Ponieważ różnym układom liczb ${\displaystyle \lambda _{1}\dots \lambda _{k}}$ spełniającym (1) odpowiadają różne dzielniki ${\displaystyle n,}$ więc:

${\displaystyle \sigma (n)=\sum p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{k}^{\lambda _{k}},}$

(2)

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych spełniające (1).

Każdy składnik sumy (2) występuje dokładnie raz, dlatego tę sumę można „zwinąć” do postaci iloczynowej:

${\displaystyle \sigma (n)=\left(1+p_{1}^{1}+\ldots +p_{1}^{\alpha _{1}}\right)\left(1+p_{2}^{1}+\ldots +p_{2}^{\alpha _{2}}\right)\dots \left(1+p_{k}^{1}+\ldots +p_{k}^{\alpha _{k}}\right).}$

Z kolei ${\displaystyle i}$-ty czynnik powyższego iloczynu jest skończoną sumą szeregu geometrycznego o ilorazie ${\displaystyle p_{i},}$ więc

${\displaystyle 1+p_{i}^{1}+\ldots +p_{i}^{\alpha _{i}}={\frac {p_{i}^{\alpha _{i}+1}-1}{p_{i}-1}}.}$

Stąd teza.

Bibliografia

• Wacław Sierpiński: Teoria liczb. Warszawa, Wrocław: 1950, s. 113–116, seria: Monografie Matematyczne (19). [dostęp 2009-01-05].
• Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 121–122, seria: Biblioteka Matematyczna, tom 7.