Cykloida – krzywa , jaką zakreśla punkt leżący na obwodzie koła, które toczy się bez poślizgu po prostej[1] . Cykloidę można narysować za pomocą cykloidografu [2] .
Zakreślanie cykloidy
Cykloida
Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi postaci[3] :
x
=
r
(
t
−
sin
t
)
{\displaystyle x=r{\begin{pmatrix}t-\sin t\end{pmatrix}}}
y
=
r
(
1
−
cos
t
)
,
{\displaystyle y=r{\begin{pmatrix}1-\cos t\end{pmatrix}},}
gdzie:
t
∈
R
,
r
>
0.
{\displaystyle t\in \mathbb {R} ,\ r>0.}
Rozwiązując równania ogólne dla
t
,
{\displaystyle t,}
otrzymuje się:
x
=
2
π
r
k
±
(
r
arccos
(
1
−
y
r
)
−
y
(
2
r
−
y
)
)
,
{\displaystyle x=2\pi rk\pm \left(r\,\arccos \left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}}\right),}
gdzie:
k
∈
Z
,
r
>
0
,
0
⩽
y
⩽
2
r
.
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,\ r>0,\ 0\leqslant y\leqslant 2r.}
Cykloida jest też związana z zagadnieniem:
krzywej najkrótszego spadku (brachistochrony ) będącej fragmentem łuku cykloidy,
krzywej będącej odwróconą cykloidą (tautochroną ), po której masa punktowa stacza się do najniższego punktu krzywej w takim samym czasie, niezależnie od punktu startowego na tej krzywej.
Uogólnieniem zwykłej cykloidy jest trochoida (gr. trochós – koło, eídos – kształt)[4] .
Równania ogólne postaci[5] [6] :
x
=
r
t
−
c
⋅
sin
t
{\displaystyle x=rt-c\cdot \sin t}
y
=
r
−
c
⋅
cos
t
,
{\displaystyle y=r-c\cdot \cos t,}
gdzie:
t
∈
R
,
r
>
0
,
c
>
0.
{\displaystyle t\in \mathbb {R} ,\ r>0,\ c>0.}
Zależność odległości
c
{\displaystyle c}
punktu zakreślającego krzywą od środka toczącego się koła i promienia
r
{\displaystyle r}
tego koła jest następująca:
dla
c
<
r
{\displaystyle c<r}
trochoidę skróconą , zakreślaną przez ustalony punkt leżący wewnątrz toczącego się koła[5] (linia czerwona na poniższym rysunku),
dla
c
>
r
{\displaystyle c>r}
trochoidę wydłużoną , zakreślaną przez ustalony punkt leżący na zewnątrz koła[6] (linia niebieska).
dla
c
=
r
{\displaystyle c=r}
zwykłą cykloidę, zakreślaną przez punkt na brzegu koła (linia zielona).
Zakreślanie trochoidy skróconej, c<r
Zakreślanie trochoidy wydłużonej, c>r
Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Cycloid , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) .