Trochoida

Trochoida (gr. trochós – koło, eídos – kształt) – krzywa płaska zakreślona przez dowolnie obrany punkt ${\displaystyle P}$ stale związany z kołem ${\displaystyle O}$ toczącym się wzdłuż wewnętrznej lub zewnętrznej strony stałego (nie poruszającego się) okręgu bez poślizgu^[1]. Termin został wprowadzony do matematyki przez Gilles’a de Robervala.

Jeśli punkt ${\displaystyle P}$ pokrywa się ze środkiem toczącego się koła, wówczas poruszając się zakreśla okrąg. W pozostałych przypadkach tor ruchu ${\displaystyle P}$ to krzywa (trochoida).

Charakterystyka trochoid

Wyróżnia się 6 typów trochoid, a ich nazwa zależy od dwóch czynników:

1. Odległość punktu ${\displaystyle P}$ od środka toczącego się koła (${\displaystyle h>r,}$ ${\displaystyle h=r,}$ ${\displaystyle h<r}$)
2. Wzajemne położenie koła poruszającego się i koła stałego na płaszczyźnie. Istnieją dwie możliwości:
   1. jeśli toczące się koło znajduje się wewnątrz koła stałego, wówczas nazwy trochoid rozpoczynają się przedrostkiem hipo- (gr. hypó – pod, poniżej),
   2. jeśli porusza się ono wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego, nazwy mają przedrostek epi- (gr. epí – na, do).

Hipocykloida

Osobny artykuł: hipocykloida.

Asteroida – szczególny przypadek hipocykloidy, taki że R/r = 4

Cechy charakterystyczne:

• punkt ${\displaystyle P}$ leży na obwodzie koła ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (h=r),}$
• hoło ${\displaystyle O}$ toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
• hipocykloida opisywana jest równaniami parametrycznymi:

${\displaystyle x=(R-r)\cos(t)+r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right)}$

${\displaystyle y=(R-r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right).}$

Hipotrochoida

Osobny artykuł: hipotrochoida.

Wspólna nazwa hipocykloidy skróconej i hipocykloidy wydłużonej.

Uwaga

niektóre źródła^[2] uznają pojęcie hipotrochoida za synonim hipocykloidy skróconej.

Hipocykloida skrócona

Cechy charakterystyczne:

• punkt ${\displaystyle P}$ leży wewnątrz koła ${\displaystyle O}$ na jego promieniu ${\displaystyle (h<r),}$
• koło ${\displaystyle O}$ toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
• hipotrochoidę najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi:

${\displaystyle x=(R-r)\cos(t)+h\cos \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right)}$

${\displaystyle y=(R-r)\sin(t)-h\sin \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right).}$

Hipocykloida wydłużona

Hipocykloida wydłużona

Cechy charakterystyczne:

• punkt ${\displaystyle P}$ leży na zewnątrz koła ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (h>r),}$
• koło ${\displaystyle O}$ toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
• hipocykloidę wydłużoną opisuje się tymi samymi równaniami parametrycznymi, co hipotrochoidę:

${\displaystyle x=(R-r)\cos(t)+h\cos \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right)}$

${\displaystyle y=(R-r)\sin(t)-h\sin \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right).}$

Epicykloida

Osobny artykuł: epicykloida.

Epicykloida dla R = 3, r = h = 1

Cechy charakterystyczne:

• punkt ${\displaystyle P}$ leży na obwodzie koła ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (h=r),}$
• koło ${\displaystyle O}$ toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
• epicykloidę opisuje się równaniami parametrycznymi:

${\displaystyle x=(R+r)\cos(t)-r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right)}$

${\displaystyle y=(R+r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right).}$

Epitrochoida

Osobny artykuł: epitrochoida.

Wspólna nazwa epicykloidy skróconej i epicykloidy wydłużonej.

Uwaga

niektóre źródła uznają pojęcie epitrochoida za synonim epicykloidy skróconej.

Epicykloida skrócona

Epicykloida skrócona dla R = 3, r = 1 oraz h = 1/2

Cechy charakterystyczne:

• punkt ${\displaystyle P}$ leży wewnątrz koła ${\displaystyle O}$ na jego promieniu ${\displaystyle (h<r),}$
• koło ${\displaystyle O}$ toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
• epicykloidę skróconą opisuje się równaniami parametrycznymi:

${\displaystyle x=(R+r)\cos(t)-h\cos \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right),}$

${\displaystyle y=(R+r)\sin(t)-h\sin \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right).}$

Epicykloida wydłużona

• punkt ${\displaystyle P}$ leży na zewnątrz koła ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (h>r),}$
• koło ${\displaystyle O}$ toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
• epicykloidę wydłużoną opisuje się równaniami:

${\displaystyle x=(R+r)\cos(t)-h\cos \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right)}$

${\displaystyle y=(R+r)\sin(t)-h\sin \left({\frac {R+r}{r}}\,t\right).}$

Krzywa otwarta

• Jeżeli stosunek ${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}}$ jest liczbą niewymierną, wykreśloną przez punkt ${\displaystyle P,}$ krzywą nazywamy krzywą otwartą.

Zobacz też

• cykloida
• krzywa cykliczna
• lista krzywych
• spirograf