En matematicas, una subrejeccion o aplicacion subrejectiva (var. sobrejeccion, suberjeccion, o...) es una aplicacion que sei valors emplisson tot lo codomeni.
Estent dos ensemblesX e Y, una aplicacion f:X→Y es dicha subrejectiva se e solament se:
per tot element y dau codomeniY, existís aumens un element x dau domeniX tau que f(x)=y.
Autrament dich, f es subrejectiva se e solament se son imatgef(X) es egau au codomeni Y.
L'aplicacion u:N→N definida per u(n)= Ent(n / 2) (onte per tot reau x, "Ent(x)" es la partida entiera de x) es subrejectiva: per tot element p dau codomeni N, existís aumens un element n dau domeni N tau que u(n)= p: per exemple 2 p; mai l'element 2 p + 1 convèn tanben e se pòt verificar que per tot entier naturau p, l'eqüacion u(n)= p d'inconeguda n a pas d'autra solucion que:
n' = 2 p e n" = 2 p + 1.
L'aplicacion v:N→N definida per v(n)= 2 n + 1 es pas subrejectiva, car (per exemple) existís ges d'entier naturau n tau que v(n)= 6. Pus explicitament, l'imatge de l'aplicacion v es l'ensemble deis entiers naturaus impars: es diferent dau codomeni N.
La foncion f:R→[0,+∞[ definida per f(x)= x2 es subrejectiva, car per tot element dau codomeni, valent a dire per tot reau positiu y, se pòt definir lo reau , e f(x)=y.
La foncion g:R→R definida per g(x)= x2 es pas subrejectiva, car se se chausís dins lo codomeni un reau y tau que y < 0, existís ges de reau x tau que x2 = y. Pus explicitament, l'imatge de la foncion g es l'ensemble [0,+∞[ dei reaus positius: es diferent dau codomeni R.
La foncion logaritme neperian:\;]0,+\infty [\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}}
es subrejectiva.
Una aplicacion f:X→Y es subrejectiva se e solament s'existís una aplicacion g:Y→X tala que fog siá egala a l'aplicacion identica de Y (aquesta proposicion es equivalenta a l'axiòma de la chausida).
Se f:X→Y e g:Y→Z son d'aplicacions subrejectivas, alora l'aplicacion compausadagof:X→Z es subrejectiva.
Se gof es subrejectiva, alora g es subrejectiva (mai se pòt que f o siá pas)
f:X→Y es subrejectiva se e solament se, quinei que sián leis aplicacions g, h:Z→X, la relacion gof= hof implica g=h.
Se f:X→Y es subrejectiva e B es un sosensemble de Y, alora f(f−1(B))=B. Ansin, en aquest cas, se pòt retrobar B a partir de l'imatge invèrsf−1(B).
Tota aplicacion f:X→Y pòt èsser descompausada sota la forma f= ios, onte:
s:X→f(X) definida per s(x)= f(x) es subrejectiva
i:f(X)→Y definida per i(y)= y es injectiva (es l'injeccion canonica de l'imatge f(X) de f dins lo codomeni Y de f ).
Tota subrejeccion indutz una bijeccion d'un ensemble quocient de son domeni vèrs son codomeni. Pus precisament, estent una aplicacion subrejectiva f:X→Y, se pòt definir ansin una relacion binària dins X: per tot pareu (x, x' ) d'elements de X:
x ~ x' se e solament se f(x) = f(x' ).
Es de bòn veire qu'es una relacion d'equivaléncia; per tot element x de X, se notarà [x] sa classa d'equivaléncia. Coma f es constanta sus cada classa d'equivaléncia (per definicion de la relacion binària), existís una aplicacion unica f~:X /~→Y tala que per tot element [x] de l'ensemble quocient X /~: f~([x]) = f(x) (es la proprietat universala de l'ensemble quocient).
a) La subrejectivitat de f~ resulta d'aquela de f: per tot element y de Y, existís x element de X tau que f(x)=y, donc f~([x])=y.
b) De mai, se [x] e [x' ] son doas classas d'equivaléncia talei que f~([x]) = f~([x' ]), alora f(x) = f(x' ), donc x ~ x' : se'n dedutz l'egalitat dei doas classas d'equivaléncia, donc l'injectivitat de f~.
c) Ansin, l'aplicacion f~:X /~→Y es bijectiva, çò qu'èra de demostrar.
S'existís una aplicacion subrejectiva f:X→Y, alora X a aumens tant d'elements coma Y, au sens dei nombres cardinaus.
Se X e Y son d'ensembles finits qu'an lo meteis nombre d'elements, alora per tota aplicacion f:X→Y, lei proposicions seguentas son equivalentas: