Magnetisk krets

En magnetisk krets består av en eller flere lukkede sløyfer som leder en magnetisk fluks. Fluksen er vanligvis generert av permanentmagneter eller elektromagneter og kretsen som fluksen går gjennom består av en kjerne av et ferromagnetiske materiale, oftest jern. En slik kjerne kalles jernkjerne og har betydelig lavere magnetisk motstand en andre materialer. I sløyfen kan det også være luftgap eller en spalte med annet materiale enn jern. Magnetiske kretser benyttes for å få en effektivt magnetisk kobling i maskiner og apparater som elektriske motorer, generatorer, transformatorer, reléer, løfteutstyr basert på elektromagneter, galvanometre og så videre.

Statoren i en elektrisk motor kan stå som eksempel på en komplisert magnetisk krets. Enda er ikke viklingene satt inn, men i bakgrunnen kan en se en tilsvarende stator med vinklinger påsatt. Magnetfeltet fra statoren roterer rundt med stor fart og får rotoren, som ikke er satt inn enda, til å rotere. Magnetfeltet fra statoren går gjennom rotoren slik at det oppstår en sluttet magnetisk krets nesten bare gjennom jern. Den største magnetiske motstanden i denne kretsen ligger i luftgapet mellom stator og rotor, mens størstedelen av maskinen er laget av jern med liten magnetisk motstand. Bildet fra en elektroteknisk fabrikk i Dresden i forhenværende DDR i 1978.

Foto: Deutsche Fotothek

Konseptet om magnetiske kretser utnytter korrelasjonen som gjelder mellom ligningene som gjelder for magnetiske felter og tilsvarende matematiske uttrykk som brukes i en elektrisk krets. Forutsetningen er at det i den magnetiske kretsen må være et umettet ferromagnetisk materiale. Ved hjelp av dette konseptet kan sammenhenger for magnetiske felter i for eksempel en transformator raskt løses ved hjelp av metoder og teknikker som er utviklet for elektriske kretser.

Magnetomotorisk spenning (MMS)

Utdypende artikkel: Magnetomotorisk spenning

Spoler (eller viklinger) påsatt jernkjernen (den svartlakkerte rammen som går gjennom de to spolene) til en transformator for fysikkeksperimenter. Det er spolene som sørger for at den magnetomotorisk spenningen (MMS) oppstår i den magnetiske kretsen. Styrken av MMS for en vikling er bestemt av produktet av antall vindinger og strømmen i den.

På samme måte som den elektromotorisk spenning (EMS) driver en strøm av elektrisk ladning i elektriske kretser, vil den magnetomotorisk spenningen (MMS, tidligere magnetomotorisk kraft, forkortet MMK) drive en magnetisk fluks gjennom en magnetisk krets. Analogt til definisjonen av MMS vil den magnetomotoriske spenningen ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}}$ drive rundt en magnetisk fluks i en lukket sløyfe som er definert av linjeintegralet:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\oint \mathbf {H} \cdot \operatorname {d} \mathbf {l} }$

der ${\displaystyle \scriptstyle \oint \mathbf {H} }$ er den magnetisk feltstyrken, også kalt H-felt eller magnetfelt, videre er ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {l} }$ en liten del av den magnetiske kretsen der MMS virker. Linjeintegralet er innført for å synliggjøre integrasjon over en ledersløyfe med vilkårlig form. Uthevede symboler betyr at det er vektorfelt som betraktes.

MMS representerer det potensialet som en hypotetisk magnetisk ladning ville oppnå ved å følge den lukkede sløyfen. Den magnetiske fluks som drives frem er ikke en strøm av magnetisk ladning: Fluksen har bare det samme forholdet til MMS som elektrisk strøm har til EMS.

Enheten for den magnetomotoriske spenningen er amperevindinger (NI), representert ved en jevn elektrisk strøm av 1 A som går i en enkelt omdreining av en ledersløyfe av elektrisk ledende materiale i vakuum. Den magnetomotoriske kraft kan ofte enkelt beregnes ved hjelp av Ampères lov. For eksempel er den magnetomotoriske spenningen ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}}$ for en spole som driver magnetfeltet i en magnetisk krets gitt av:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=NI}$

hvor N er antall vindinger (omdreininger i spolen) og I er strømmen gjennom spolen.

I en jernkjerne i for eksempel en transformator er dimensjonene av denne slik at lengden av en flukslinje er lik samlet omkrets av kjernen. Dermed kan linjeintegralet over omgjøres til skalarproduktet av H_kl_k, altså styrken av H i kjernen og gjennomsnittlig lengde av fluksen. Ut fra dette og sammenhengen rett over kan magnetomotorisk spenning uttrykkes slik for magnetisk kretsterminologi:^[1]

${\displaystyle {\mathcal {F}}=NI=H_{k}l_{k}}$

For å finne retningen av feltstyrken og magnetiske fluks benyttes høyrehåndsregelen, som sier at om lederen spolen holdes i høyre hånd slik at tommelen peker i strømretningen så vil fingrene peke i retning av feltet.

Magnetisk fluks

Utdypende artikkel: magnetisk fluks

Illustrasjon som viser et øyebikksbilde av magnetisk flukstetthet i en trefasetransformator. Beregningene er gjort ved hjelp av et datasimuleringsverktøy som bruker The finite element method.

Foto: Dr. David C. Meeker

En MMS «driver» den magnetiske fluksen gjennom den magnetiske kretsen. Fluks gjennom en magnetisk krets er proporsjonal med antallet av magnetiske feltlinjer som passerer gjennom hele arealet av banen. Dette er en netto størrelse, det vil si at antall feltlinjer som passerer gjennom tverrsnittet i én retning må subtraheres fra det antallet som passerer gjennom i den motsatte retningen.

Magnetisk flukstetthet, eller ofte også kalt magnetisk felt med symbolet B, er definert som fluks dividert på arealet som fluksen går gjennom. Arealet må være vinkelrett på flukslinjene. Mer generelt kan dette uttrykkes ved et integral der en ser på et element av et areal som er vinkelrett på magnetfeltet. Flukstettheten er da gitt av produktet av fluksen og arealelementet. Enda mer generelt kan en si at magnetisk fluks Φ er definert av indreproduktet av det magnetiske feltet og vektoren til arealelementet. Kvantitativt er den magnetiske fluks gjennom en overflate S er definert som integralet av magnetfeltet over arealet av overflaten:

${\displaystyle \Phi _{m}=\int \!\!\!\!\int _{S}\mathbf {B} \cdot \operatorname {d} \mathbf {S} }$

For en magnetisk krets velges ofte området S til å være hele tverrsnittsarealet av banen der fluksen går.

SI enhet for magnetisk fluks er Weber (som i avledet enheter blir voltsekunder), som har fått navnet etter den tyske fysikeren Wilhelm Eduard Weber. Enheten for magnetisk flukstetthet er weber per kvadratmeter, eller Tesla etter den kroatisk-amerikanske oppfinneren, fysikeren og ingeniøren Nikola Tesla.

Hopkinson lov – en magnetisk analogi til Ohms lov

I elektriske kretser er Ohms lov er en empirisk sammenheng mellom EMF (${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {E}}}$) som driver en strøm og motstanden som virker mot strømmen. Et praktisk eksempel kan være et batteri, en ledning og en lyspære. Batteriet representerer spenningen ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {E}}}$ og ledningen og lyspæren gir en motstand R. Forholdet mellom EMS, strøm og motstand i en slik krets skrives som:

${\displaystyle {\mathcal {E}}=IR}$

Hopkinson lov er motsatsen til Ohms lov og brukes for magnetiske kretser. Loven er oppkalt etter den britiske fysikeren og elektroingeniøren John Hopkinson. Den fastslår at:^[2]

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\phi {\mathcal {R}}}$

der ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}}$ er MMS over et magnetisk element, ${\displaystyle \scriptstyle \phi }$ er magnetisk fluks gjennom det magnetiske element og ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {R}}}$ er magnetisk motstand for elementet. Sammenhengen mellom vektorfeltene magnetisk feltstyrke H og flukstetthet B er videre gitt av:

${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$

der μ er permeabiliteten og er sammensatt av produktet av μ₀ og μ_r, som henholdsvis er permeabiliteten for vakuum og en konstant for alle andre materialer. Enheten for permeabilitet er Henry per meter (H m⁻¹). For øvrig brukes enehten Henry for induktans. Permeabiliteten for vakuum er μ₀ = 4π ∙ 10⁻⁷ H m⁻¹ og μ_r er et tall mellom 2 000 og 80 000 for jernlegeringer som brukes i transformatorer, generator, elektriske motorer og andre elektriske apparater eller maskiner. Imidlertid er denne konstanten også sterkt avhengig av flukstettheten.^[3] For andre ikke-magnetiske materialer er μ_r tilnærmet lik 1. Sammenhengen over forteller at for den samme magnetisk feltstyrken vil en ha forskjellig flukstetthet avhengig av hva slags materiale som feltet går gjennom.

Lik Ohms lov kan Hopkinson lov sees på som en empirisk ligning som fungerer for mang materialer, og under visse betingelser. Ohms lov gjelder for ledermaterialer (metaller) og ikke andre stoffer, dessuten må det tas hensyn til temperaturen i lederne. Hopkins lov er ikke lenger gyldig for en magnetisk krets bestående av jern om denne går i metning. Det vil si at magnetisk flukstetthet B har oppnådd sitt høyeste nivå, og ikke lenger øker selv om magnetisk feltstyrke H øker.^[4][5] Hopkinson lov definerer også begrepet magnetisk reluktans.

Reluktans

Bygging av kjernen til en stor krafttransformator. Denne er sammensatt av tynne blikkplater av spesielle stållegeringer. Hensikten med dette er blant annet å gi så liten reluktans som mulig, samt redusere de såkalte virvelstrømstapene.

Magnetisk motstand er analog til elektrisk motstand i en elektrisk krets. I likhet med at et elektrisk felt forårsaket av en elektrisk strøm følger minste motstands vei, vil den magnetiske feltstyrken forårsaket at magnetisk fluks følge den veien som gir minste magnetiske motstands vei. Reluktans er en skalarverdi, videre er den en såkalt ekstensive egenskap, beslektet med elektrisk motstand.

Den totale motstand i en magnetisk krets er lik forholdet mellom MMS i en magnetisk krets, og magnetiske fluks i denne kretsen. I et vekselfelt, forårsaket av vekselstrøm, er reluktansen forholdet mellom amplitudeverdiene for en sinusformet MMS og magnetisk fluks.

Definisjonen av reluktans kan uttrykkes som:

${\displaystyle {\mathcal {R}}={\frac {\mathcal {F}}{\Phi }}}$

som er den samme ligningen som i avsnittet over.

Magnetisk fluks danner alltid en lukket sløyfe som beskrevet av Maxwells ligninger, men banene av sløyfene avhenger av reluktansen til materialet som disse brer seg gjennom. Fluksen er mest konsentrert i materialet med minst motstand. Luft og vakuum har høy reluktans, mens lett magnetiserbare materialer som bløtt jern har lav magnetisk motstand.

Reluktans av et magnetisk uniform magnetisk kretselement kan beregnes som:

${\displaystyle {\mathcal {R}}={\frac {l}{\mu A}}}$

der

L = lengden av elementet i meter

${\displaystyle \mu \;=\;\mu _{r}\mu _{0}}$ er permeabilitet av materialet (${\displaystyle \mu _{r}}$ er den relative permeabilitet av materialet (dimensjonsløs konstant), og ${\displaystyle \mu _{0}}$ er permeabiliteten i vakuum)

A = arealet av tverrsnittet av den magnetiske kretsen i m².

Ligningen over har samme for som ligningen for elektrisk resitivitet i ledende materialer. Permeabilitet er analog med elektrisk ledningsevne, altså den inverse verdi av permeabiliteten som er reluktans og er analog til resistivitet. Lengre og tynnere magnetiske kretser med lav permeabilitet føre til høyere reluktans.

Den inverse av reluktans kalles permeans, og får altså definisjonen:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\frac {1}{\mathcal {R}}}}$

SI-enheten for permeans er Henry per meter (H/m ).

Den atomære opprinnelse for reluktans

På atomært nivå har fluksen en spesiell påvirkning på ferromagnetiske materialer (jern). Konsentrasjonen av den magnetiske fluksen i materialer med lav reluktans danner sterke temporære poler. Dette forårsaker mekaniske krefter som har en tendens til å bevege meget små regioner i materialet mot områder med regioner med større fluks, således skaper disse magnetiske domenene en tiltrekkende kraft på fluksen.

Summert oversikt over analogiene mellom magnetiske- og elektriske kretser

Tabellen nedenfor oppsummerer de matematiske analogiene mellom elektrisk kretsteori (elektrisitetslære) og magnetisk kretsteori. Dette er matematisk analogi og må slettes ikke oppfattes som fysiske likheter. Parametre og begreper i samme rad har samme matematiske rolle, men fysikken i de to teoriene er svært forskjellige. For eksempel er strømstyrke en flyt av elektrisk ladninger, derimot er ikke magnetisk fluks noen flyt av materie.

Analogi mellom magnetiske- og elektriske kretser

Magnetisk				Elektrisk
Navn	Symbol	Enhet		Navn	Symbol	Enhet
Magnetomotorisk kraft (MMS)	${\displaystyle {\mathcal {F}}=\int \mathbf {H} \cdot \operatorname {d} \mathbf {l} }$	Amperevinding		Elektromotorisk spenning (EMS)	${\displaystyle {\mathcal {E}}=\int \mathbf {E} \cdot \operatorname {d} \mathbf {l} }$	Volt
Magnetisk felt	H	Ampere/meter		Elektrisk felt	E	Volt/meter = Newton/Coulomb
Magnetisk fluks	${\displaystyle \phi }$	Weber		Elektrisk strøm	I	Ampere
Hopkinsons lov	${\displaystyle {\mathcal {F}}=\phi {\mathcal {R}}_{m}}$	Amperevinding		Ohms lov	${\displaystyle {\mathcal {E}}=IR}$
Reluktans	${\displaystyle {\mathcal {R}}_{m}}$	H-1		Elektrisk motstand	R	Ohm
Permeans	${\displaystyle {\mathcal {P}}={\frac {1}{{\mathcal {R}}_{m}}}}$	Wb A−1		Konduktans	${\displaystyle G={\frac {1}{R}}}$	1/Ohm = Siemens
Relasjon mellom magnetfelt	${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$			Ohms lov på atomær nivå	${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$
Magnetisk flukstetthet	B	Tesla		Strømtetthet	J	Ampere/m2
Permeabilitet	μ	Henry/meter		Elektrisk ledningsevne	σ	Siemens/meter

Begrensninger av analogien

Elektriske- og magnetiske kretser har bare overfladiske likheter på grunn av likheten mellom Hopkinson lov og Ohms lov. Magnetiske kretser har betydelige forskjeller fra elektriske kretser, forståelsen av begge fenomenene må baseres på at forskjellene er forstått:

• Elektrisk strøm representerer en strøm av partikler (elektroner) og en transport av energi. I en leder med motstand (resistans) vil noe av denne energien omformes til varme. Et magnetfelt representerer ikke en strømning av noe stoff eller materie og ingen energi blir omformet på grunn av magnetisk motstand (reluktans).
• Strømmen i vanlige elektriske kretser er begrenset til selve kretsen, med svært lite «lekkasje». I magnetiske kretser vil ikke hele det magnetiske feltet være begrenset til selve den magnetiske kretsen: Det er lekkasjeflukser (lekkfluks, lekkfelt eller lekkreaktans) i rommet utenfor den magnetiske kretsen. For eksempel i transformatorer med jernkjerne vil det være magnetisk fluks som ikke går i selve kjerne, men i rommet utenfor.
• Kanskje den viktigst forskjellen er at magnetiske kretser er ulineære. Reluktansen i en magnetisk krets er ikke konstant, noe den elektrisk motstanden er innfor visse rammer.^{[lower-alpha 1]} Reluktansen derimot vil variere avhengig av styrken av magnetisk fluks. Ved høy magnetisk fluks i ferromagnetiske materialer vil magnetisk metning kunne oppstå. Når metning oppstår vil ikke den magnetiske fluksen kunne økes særlig mer, eller sakt på en annen måte, så vil reluktansen øke hurtig. Reluktans kan også variere noe ved lave flukser. I tillegg oppstår hysterese i ferromagnetiske materialer, slik at fluksen ikke bare avhenger av MMS i øyeblikkelige, men også på historien til MMS. I praksis betyr dette at etter at kilden til den magnetiske fluks er slått av vil remanent magnetisme være igjen i ferromagnetiske kretser. Dette skaper fluks uten at noen MMS er tilstede. Dette fenomenet kan en finne i for eksempel elektriske motorer, generatorer, transformatorer og i spesielt sterkt grad i permantmagneter.^[5]

Kretslover for magnetiske kretser

Lovene for magnetiske kretser følger sammenhenger som ligner på elektriske kretslover. For eksempel den totale reluktansen ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {R}}_{T}}$ av flere reluktanser i serie være gitt av:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{T}={\mathcal {R}}_{1}+{\mathcal {R}}_{2}+\cdots +{\mathcal {R}}_{n}}$

Vider vil parallellkoblede reluktanser ha en total magnetisk motstand gitt av:

${\displaystyle {\frac {1}{{\mathcal {R}}_{T}}}={\frac {1}{{\mathcal {R}}_{1}}}+{\frac {1}{{\mathcal {R}}_{2}}}+...+{\frac {1}{Z_{n}}}}$

Summen av magnetiske fluks ${\displaystyle \scriptstyle \Phi _{1},\Phi _{2},\dots ,\Phi _{n}}$ i enhver node (punkt i kretsen) vil alltid være null, og er analogt med Kirchhoffs strømlov:

${\displaystyle \Phi _{1}+\Phi _{2}+\cdots +\Phi _{n}=0}$

En analog til Kirchhoffs spenningslov er at summen av de magnetomotoriske spenninger i lukket krets er lik null:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}+{\mathcal {F}}_{2}+\cdots +{\mathcal {F}}_{n}=0}$

På norsk kalles denne sammenhengen ampervindingsbalanse. Begrepet brukes for eksempel i forbindelse med transformatorer der en sier at ampervindinger (NI) på primærsiden til en hver tid må være balansert med ampervindingene på sekundærsiden. Dette kan uttrykkes I₁ N₁ = I₂N₂ der I er strøm på henholdsvis primær- og sekundærsiden og N er lik antall vindinger på henholdsvis primær- og sekundærsiden av transformatoren. Ampervindinger på de to sidene har motsatt fortegn og virker altså mot hverandre i en transformator. Dette er årsaken til at magnetisk fluks i jernkjernen ikke øker om transformatoren belastes.^[6]

Eksempel med en elektromagnet med to luftgap

En elektromagnet med en jernkjerne med to luftgap. Spolen med rød farge har N vindinger og fører strømmen I. Magnetisk fluks er markert med grønne linjer, og for å forenkle fremstillingen går alle flukslinjer i jernkjernene.

Bildet til høyre viser en elektromagnet med en jernkjerne med to luftgap. Det er også vist en ekvivalentkrets for den magnetiske kretsen. Anta at det er 500 vindinger i spolen, at tverrsnittet av jernkjernen er 9 cm₂, luftgapene er 0,025 cm, gjennomsnittlig lengde av flukslinjene er 30 cm og at gjennomsnittlig permeabilitet for jernet i kjernen er 70 000. Hva er reluktansen i jernkjernen og luftgapene? Hvor stor strøm må til for at flukstettheten skal bli 1 T?

Reluktansen for jernkjernen er gitt av:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{C}={\frac {l}{\mu _{r}\mu _{0}A}}={\frac {0,3}{70000\cdot 4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 9\cdot 10^{-4}}}=3,79\cdot 10^{3}Wb^{-1}}$

Reluktansen for luftgapene er gitt av:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{G}={\mathcal {R}}_{G1}+{\mathcal {R}}_{G2}={\frac {0,00025}{4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 9\cdot 10^{-4}}}+{\frac {0,00025}{4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 9\cdot 10^{-4}}}=4,42\cdot 10^{5}Wb^{-1}}$

når det er forutsatt at den relative permeabilitet for luft er lik 1.

Flukstettheten 1 Tesla gir en magnetisk fluks i jernkjernen på:

${\displaystyle \Phi =BA=1\cdot 9\cdot 10^{-4}=9\cdot 10^{-4}Wb}$

og strømmen som må gå gjennom spolen for å få denne fluksen finnes av:

${\displaystyle I={\frac {\mathcal {F}}{N}}={\frac {\Phi ({\mathcal {R}}_{G}+{\mathcal {R}}_{C})}{N}}={\frac {9\cdot 10^{-4}(3,79\cdot 10^{3}+4,42\cdot 10^{5})}{500}}=0,8A}$

Historisk bakgrunn

Ideen til en lov for magnetisk fluks lik Ohms lov for lukkede elektrisk kretser ble første gang formulert av den amerikanske fysikeren Henry Augustus Rowland.^[7] Begrepet reluktans ble skapt i 1888 av den engelske elektroingeniøren Oliver Heaviside.^[8][9] og begrepet magnetomotorisk spenning (MMS) ble først navngitt av Bosanquet.^[10]

Se også

• Magnetisme
• Elektromagnetisme
• Elektromagnetisk induksjon
• Induktans
• Permeabilitet

Noter

Type nummerering

1. Ohms lov gjelder for elektriske ledere, og de fleste materialer visser en annen oppførsel for sammenheng mellom strøm og spenning. Resistansen i en leder er blant annet temperaturavhengig, noe som setter visse begrensninger av gyldigheten for Ohms lov. For eksempel vil den nevnte kretsen med et batteri, en ledning og en lyspære ha forskjellig motstand ettersom oppvarmingen av glødetråden fører til økt resistans.

Referanser

1. A. E. Fitzgerald: Electric machinery side 4.
2. Tesche, Fredrick; Michel Ianoz; Torbjörn Karlsson (1997). EMC Analysis Methods and Computational Models. Wiley-IEEE. s. 513. ISBN 0-471-15573-X.
3. A. E. Fitzgerald: Electric machinery side 4-5.
4. Young og Freedman: University physics side 853.
5. Young og Freedman: University physics side 980-981.
6. Olav Vaag Thorsen: Transformatorer side 56.
7. Thomas C. Mendenhall. «Biographical memoir of Henry Augustus Rowland 1848-1901» (PDF). National academy of sciences. s. 119. Besøkt 31. mai 2015.
8. Ron Doerfler. «Heaviside's Operator Calculus». Dead Reckonings. Besøkt 31. mai 2015.
9. Oliver Heaviside. Electrical papers - Volum II. Macmilland and Co. s. 166. Besøkt 31. mai 2015.
10. J. A. Ewing (2003). Magnetic Induction In Iron and Other Metals - Physics and Electronics (på engelsk). Wexford College Press. s. 265. ISBN 978-1929148110.

Litteratur

• Olav Vaag Thorsen (1973). Transformatorer (på norsk) (Andre utgave 1980 utg.). Universitetsforlaget. ISBN 82-00-27846-8.

• Hugo D. Young og Roger A. Freedman (2008). University Physics (på engelsk) (XII utg.). Addison Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1.

• A. E. Fitzgerald, Charles Kingsley, Jr. Og Stephen D. Umans (1992). Electric machinery (Fifth Edition in SI units utg.). McGraw-Hill Book Co. ISBN 0-07-707708-3.CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)

Eksterne lenker

• Magnet Academy Demonstrasjoner, artikler og videoer om magnetisme.
• Electromagnetism Arkivert 3. juni 2011 hos Wayback Machine. Læreboktekster om elektromagnetisme.
• MIT Lecture notes electromagnetic energy Kursmateriell fra Massachusetts Institute of Technology som omhandler magnetiske kretser.