![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/RiemannKugel.svg/langno-640px-RiemannKugel.svg.png&w=640&q=50)
Riemannsk sfære
From Wikipedia, the free encyclopedia
Den riemannske sfære (oppkalt etter den tyske matematikeren Bernhard Riemann) betegner innen matematikken en unik måte å visualisere det utvidede komplekse planet, slik at punktet uendelig representerer et punkt på sfæren likesom et hvilken som helst annet komplekst tall. Det viktigste anvendelsesområdet er i behandlingen av utvidede kompekse funksjoner (som kan defineres i punktet uendelig og/eller ta verdien uendelig), spesielt i forhold til kontinuitet og deriverbarhet. Punktet uendelig kan altså gjennom det utvidede komplekse planet og den riemannske sfære behandles på nøyaktig samme måte som et hvilket som helst annet punkt i det komplekse planet.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/RiemannKugel.svg/320px-RiemannKugel.svg.png)
Topologisk er den riemannske sfære 1-punkts kompaktifikasjonen av det komplekse planet. Dette gir den topologien til en 2-dimensjonal sfære, som bevarer topologien til det komplekse planet. Hvis det komplekse planet beskrives som et geometrisk plan definert gjennom punkter, linjer, sirkler og vinkler, men ikke avstander, kan den riemannske sfære visualiseres ved å legge til et punkt uendelig gjennom hvilket alle linjer går i gjennom; parallelle linjer tangerer i punktet og alle andre linjer krysser i samme vinkel som de gjør i et eksisterende punkt. Denne geometrien forestiller en 2-dimensjonal sfære dannet av det utvidede komplekse planet ved stereografisk projeksjon, gjennom hvilket linjer i det komplekse planet blir til sirkler gjennom punktet uendelig. Vinkler på den riemannske sfære er identiske med de korresponderende vinklene i det komplekse planet (og det samme er sant i punktet uendelig med det naturlige valget av vinkel mellom to linjer som møtes her).
Den 2-dimensjonale sfæren utgjør en kompleks struktur som gjør den til en riemannsk flate (i.e. et 1-dimensjonalt komplekst mangfold). Den riemannske sfæren kan karakteriseres som den unike enkelt sammenhengende, kompakte riemannske flaten, og det komplekse planet kan sees på som et sub-mangfold av denne.