Kontinuerlig funksjon

En kontinuerlig funksjon ${\displaystyle f}$ er intuitivt sett en funksjon som har den egenskapen at små endringer i ${\displaystyle x}$ medfører små endringer i funksjonsverdien ${\displaystyle f(x)}$. Overfører vi denne intuisjonen til geometrien ser vi at funksjonsgrafen til en kontinuerlig funksjon kan skisseres uten å løfte pennen. For en presis matematisk definisjon av kontinuitet, se under. En funksjon som ikke er kontinuerlig kalles diskontinuerlig.

Områder i analyse

Differensialligninger

Funksjonalanalyse

Funksjoner av flere variable

Matematisk analyse

Kontinuitet Grenseverdier Følger Rekker Derivasjon Integrasjon

Komplekse funksjoner

Skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen følger av resultater for kontinuerlige reelle funksjoner.

Kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel

Se på funksjoner ${\displaystyle f}$ hvor definisjonsmengden og verdimengden er delmengder av de reelle tall. Ofte er slike funksjoner gitt ved formeluttrykk. Vi har følgende tre ekvivalente definisjoner:

Epsilon-delta definisjon

La ${\displaystyle a}$ være et punkt i definisjonsmengden til ${\displaystyle f}$. Vi sier at ${\displaystyle f}$ er kontinuerlig i ${\displaystyle a}$ dersom det for hver ${\displaystyle \epsilon >0}$ finnes en ${\displaystyle \delta >0}$ slik at

${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\epsilon }$ når ${\displaystyle |x-a|<\delta }$ og ${\displaystyle x}$ ligger i definisjonsmengden til ${\displaystyle f}$.

Funksjonen ${\displaystyle f}$ kalles kontinuerlig dersom ${\displaystyle f}$ er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Ved grenseverdier

La ${\displaystyle a}$ være et punkt i definisjonsmengden til ${\displaystyle f}$. Vi sier at ${\displaystyle f}$ er kontinuerlig i ${\displaystyle a}$ dersom ${\displaystyle a}$ er et isolert punkt i definisjonsmengden eller grenseverdien ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)}$ eksisterer og er lik ${\displaystyle f(a)}$. Funksjonen ${\displaystyle f}$ kalles kontinuerlig dersom ${\displaystyle f}$ er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Ved sekvensielle grenseverdier

La ${\displaystyle a}$ være et punkt i definisjonsmengden til ${\displaystyle f}$. Vi sier at ${\displaystyle f}$ er kontinuerlig i ${\displaystyle a}$ dersom for hver følge ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ av punkt i definisjonsmengden med ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a}$, så eksisterer grenseverdien ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})}$ og er lik ${\displaystyle f(a)}$. Funksjonen ${\displaystyle f}$ kalles kontinuerlig dersom ${\displaystyle f}$ er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Eksempler

Følgende funksjoner er kontinuerlige:

• ${\displaystyle f(x)=c}$, hvor ${\displaystyle c}$ er en konstant.
• ${\displaystyle f(x)=x}$
• Absoluttverdien ${\displaystyle f(x)=|x|}$
• n-te potenser ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$
• n-te røtter ${\displaystyle f(x)={\sqrt[{n}]{x}}}$
• De trigonometriske funksjonene ${\displaystyle \sin(x)}$, ${\displaystyle \cos(x)}$ og ${\displaystyle \cot(x)}$
• Eksponentialfunksjonen ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$
• Logaritmefunksjonen ${\displaystyle f(x)=\ln(x)}$
• Arcusfunksjonene ${\displaystyle \arcsin(x)}$, ${\displaystyle \arccos(x)}$ og ${\displaystyle \arctan(x)}$
• De hyperbolske funksjonenen ${\displaystyle \sinh(x)}$, ${\displaystyle \cosh(x)}$, ${\displaystyle \tanh(x)}$ og ${\displaystyle \coth(x)}$

Funksjonen ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&\operatorname {hvis} \quad x\neq 0,\\1&\operatorname {hvis} \quad x=0\end{cases}}}$ er ikke kontinuerlig i ${\displaystyle 0}$.

Funksjonen ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&\operatorname {hvis} \quad x\quad \operatorname {rasjonal} ,\\1&\operatorname {hvis} \quad x\quad \operatorname {irrasjonal} \end{cases}}}$ er ikke kontinuerlig i noe punkt.

Å avgjøre kontinuitet

Dersom en reell funksjon ${\displaystyle f}$ er gitt ved en formel, så er det upraktisk å bruke definisjonen til å avgjøre om ${\displaystyle f}$ er kontinuerlig. I stedet bruker man teoremet som sier at dersom funksjonen ${\displaystyle f}$ er bygget opp av kontinuerlige funksjoner ved operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og sammensetning, så er også ${\displaystyle f}$ kontinuerlig i hele sin definisjonsmengde.

Eksempler:

• ${\displaystyle f(x)=x^{2}+4}$ kontinuerlig siden ${\displaystyle f}$ er summen av de kontinuerlige funksjonene ${\displaystyle x^{2}}$ og ${\displaystyle 4}$.
• ${\displaystyle f(x)=\sin(2x)}$ er kontinuerlig siden ${\displaystyle f}$ er sammensetningen av ${\displaystyle \sin(x)}$ med produktet ${\displaystyle 2x}$.
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ er kontinuerlig siden ${\displaystyle f}$ er den kontinuerlige funksjonen ${\displaystyle 1}$ delt på den kontinuerlige funksjonen ${\displaystyle x}$. Merk at ${\displaystyle f}$ ikke er diskontinuelig i ${\displaystyle x=0}$, men kun udefinert i dette punktet. Videre er det umulig å utvide definisjonsområdet til ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ slik at ${\displaystyle f}$ blir kontinuerlig i ${\displaystyle 0}$.

Viktige resultater

Skjæringssetningen: Anta at ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$ er en kontinuerlig funksjon hvor ${\displaystyle f(a)}$ og ${\displaystyle f(b)}$ har motsatte fortegn. Da finnes et tall ${\displaystyle c}$ mellom ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ slik at ${\displaystyle f(c)=0}$.

Ekstremalverdisetningen: La ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$ være en kontinuerlig funksjon definert på et lukket, begrenset intervall. Da eksisterer både maksimumspunkt og minimumspunkt for ${\displaystyle f}$.

Kontinuitet for komplekse funksjoner av en kompleks variabel

Kontinuitet for en kompleks funksjon ${\displaystyle f}$ av en kompleks variabel ${\displaystyle z}$ defineres på samme måte som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.

Kontinuitet for funksjoner av flere variable

Kontinuitet for en funksjon ${\displaystyle f}$ av flere variable ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ defineres på samme måte som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.

Følgende eksempel viser at man må være litt forsiktig når man ser på kontinuitet til funksjoner av flere variable: La ${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1&\operatorname {hvis} \quad x=0\quad \operatorname {eller} \quad y=0,\\0&\operatorname {ellers} .\end{cases}}}$ Selv om ${\displaystyle x\mapsto f(x,0)}$ og ${\displaystyle y\mapsto f(0,y)}$ begge er kontinuerlige i ${\displaystyle 0}$, så er ikke ${\displaystyle (x,y)\mapsto f(x,y)}$ kontinuerlig i ${\displaystyle (0,0)}$.

Kontinuerlige funksjoner mellom metriske rom

Epsilon-delta definisjon

La ${\displaystyle X}$ og ${\displaystyle Y}$ være metriske rom med metrikker ${\displaystyle d}$ og ${\displaystyle \rho }$ henholdsvis. En funksjon ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ er kontinuerlig i punktet ${\displaystyle a\in X}$ dersom det for alle ${\displaystyle \epsilon >0}$ finnes en ${\displaystyle \delta >0}$ slik at

${\displaystyle \rho (f(x),f(a))<\epsilon }$ for alle ${\displaystyle x\in X}$ med ${\displaystyle d(x,a)<\delta }$.

En funksjon er kontinuerlig dersom funksjonen er kontinuerlig i alle punkt ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle X}$.

Ved grenseverdier

La ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ være en funksjon mellom metriske rom og la ${\displaystyle a}$ være et punkt i ${\displaystyle X}$. Vi sier at ${\displaystyle f}$ er kontinuerlig i ${\displaystyle a}$ dersom ${\displaystyle a}$ er et isolert punkt i ${\displaystyle X}$ eller grenseverdien ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)}$ eksisterer og er lik ${\displaystyle f(a)}$. Funksjonen ${\displaystyle f}$ kalles kontinuerlig dersom ${\displaystyle f}$ er kontinuerlig i alle punkt i ${\displaystyle X}$.

Ved sekvensielle grenseverdier

La ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ være en funksjon mellom metriske rom og la ${\displaystyle a}$ være et punkt i definisjonsmengden til ${\displaystyle f}$. Vi sier at ${\displaystyle f}$ er kontinuerlig i ${\displaystyle a}$ dersom for hver følge ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ av punkt i ${\displaystyle X}$ med ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a}$, så eksisterer grenseverdien ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})}$ og er lik ${\displaystyle f(a)}$. Funksjonen ${\displaystyle f}$ kalles kontinuerlig dersom ${\displaystyle f}$ er kontinuerlig i alle punkt i ${\displaystyle X}$.

Kontinuerlige funksjoner mellom topologiske rom

Definisjon

En funksjon ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ mellom topologiske rom er kontinuerlig dersom ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ er en åpen mengde i ${\displaystyle X}$ for hver åpen mengde ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle Y}$.

En kan også gi en ekvivalent definisjon ved bruk av omegnsstrukturer. En slik definisjon viser at kontinuitet er en lokal egenskap.

Merk at sammensetningnen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.

Viktige resultater

Følgende to resultater generaliserer skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen:

• Bildet av en sammenhengende mengde under en kontinuerlig funksjon er sammenhengende.
• Bildet av en kompakt mengde under en kontinuerlig funksjon er kompakt.

Litteratur

• Adams, Robert (2003). Calculus : a complete course (på english). Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5.
• Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford Quick Reference. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-157976-9. Besøkt 30. august 2016.
• Lindstrøm, T. (2006). Kalkulus (på norsk). Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3. Besøkt 30. august 2016.
• Lindström, S.B. (2013). Matematisk ordbok för högskolan: engelsk-svensk, svensk-engelsk: (på svensk). Stefan B. Lindström. ISBN 978-91-981287-0-3. Besøkt 30. august 2016.