Metrikk (matematikk)

En metrikk i matematikk er en funksjon som definerer en avstand eller distanse mellom to elementer i en mengde. En mengde med en definert metrikk kalles et metrisk rom.

I et euklidsk rom har en definert avstanden mellom to punkter på en måte som sammenfaller med vår dagligdagse bruk av avstandsbegrepet. I den matematiske definisjonen av en metrikk har en abstrahert egenskapene til avstandsbegrepet, slik at en kan definere en distanse eller metrikk mellom to vilkårlige mengde-elementer, for eksempel mellom to funksjoner.

En metrikk vil definere en topologi i mengden, men ikke alle toplogier kan defineres ut fra en metrikk. En topologi som er avledet av en metrikk sies å være metriserbar.

Formell definisjon

En metrikk for mengden V er en funksjon som for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

${\displaystyle d:V\times V\to \mathbb {R} ^{+}}$

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer x, y i V:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}d(x,y)&\geq 0&{\mbox{Ikke-negativ}}\\d(x,y)&=0\iff x=y\\d(x,y)&=d(y,x)&{\mbox{Symmetri}}\\d(x,y)&\leq d(x,z)+d(z,y)\qquad &{\mbox{Trekantulikheten}}\\\end{array}}}$

Definisjonen formaliserer intuitive egenskaper til en distansefunksjon: En avstand kan aldri være negativ. Avstanden mellom to element kan bare være lik null dersom elementene er like. Avstanden fra x til y er like lang som fra y til x. Den korteste avstanden mellom to punkt er en rett linje.

Metrikk-eksempler

Diskrete metrikk

For en vilkårlig mengde er den diskrete metrikken er definert som følger

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}d(x,y)&=0&\ {\mbox{dersom }}x=y\\d(x,y)&=1&{\mbox{ellers}}\\\end{alignedat}}}$

Euklidsk metrikk

Et punkt i det tredimensjonale euklidske rommet kan skrives som x = (x₁,x₂,x₃). Metrikken i dette rommet er definert ved

${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}}$

Taxicab-metrikk

For det tredimensjonale rommet ${\displaystyle R^{3}}$ kan en bruke taxicab-metrikken definert ved

${\displaystyle d(x,y)=|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|+|x_{3}-y_{3}|\,}$.

Denne metrikken er også kjent under navnet Manhattan-metrikken.

Litteratur

• R.D.Milne (1980). Applied functional analysis. An introductory treatment. London: Pitman Publishing. ISBN 0-273-08404-6.