Euler-karakteristikk

Euler-karakteristikk er et tall som benyttes innen geometri og topologi for å beskrive den generelle formen til et legeme uavhengig av hvordan det blir bøyet og tøyet. Denne blir betegnet med den greske bokstaven χ. For eksempel kan en smultring kontinuerlig deformeres til en kopp med hanke. De har derfor samme Euler-karakteristikk. Det har også en kube og en kule.

En kule har Euler-karakteristikk χ = 2.

Dette topologiske tallet har fått sitt navn fra Leonhard Euler som først innførte det i forbindelse med sine studier av formen til forskjellige polyeder. Han viste at antall hjørner V, antall kanter E og antall sideflater F alltid er forbundet med formelen V - E + F = 2. Ut fra dette ble disse legemene sagt å ha Euler-karakteristikk χ = 2. Det gjelder også for en kule eller en murstein. Denne oppdagelsen kalles nå for Eulers polyedersetning og kan benyttes til å vise at det finnes kun fem platonske legemer.

Definisjon

For mer kompliserte legemer med hull kunne setningen utvides til den mer generelle formen

${\displaystyle \chi =V-E+F=2-2g}$

hvor tallet g er genus til legemet og sier hvor mange hull eller hanker det har. En smultring har genus 1 og derfor Euler-karakteristikk 0.^[1]

I moderne matematikk kan man bruk homologi for rom eller legemer med vilkårlig høy dimensjon d  til å dele dette opp i underrom med hvert sitt Betti-tall b_k. Euler-karakteristikken til legemet er da gitt som

${\displaystyle \chi =\sum _{k=0}^{d}(-1)^{k}b_{k}=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\cdots }$

hvor Betti-tallene kan beregnes ved bruk av algebraisk homologi.^[2] Dette resultatet går tilbake til Henri Poincaré.

Utledning

Hver kant teller som E = 1 og har i utgangspunktet V = 2 hjørner. Er denne kanten uforbundet med andre, er derfor V - E = 1. Kobler man to slike kanter sammen med et hjørne fra hver av dem, er etter sammnekoblingen E = 2, men V = 3 da et hjørne er felles. Fremdeles er derfor V - E = 1. Hekter man sammen flere og flere kanter slik sammen, vil V - E = 1 fortsatt holde så lenge ingen av kantene inngår i en lukket kurve som avgrenser en flate, det vil si at nettverket er åpent.

Men så snart nettverket inneholder en avgrenset flate, blir V - E = 0. Dette ser man for eksempel med E = 3 kanter som kobles sammen til en trekant med V = 3 hjørner. Dette resultatet kan skrives mer formelt som V - E + F = 1 hvor F teller hvor mange flater som er avgrenset.

Dette forutsetter at flatene ikke kobles sammen slik at de avgrenser et volum. Det ser man for eksempel fra et tetraeder som har V = 4 hjørner, E = 6 kanter og F = 4 flater slik at V - E + F = 2. Men kuttes denne opp langs tre tilstøtende sider, blir V = 6, E = 9 og F = 4 slik at V - E + F = 1. Generelt kan man derfor for et slikt nettverk i tre dimensjoner skrive V - E + F - S = 1 hvor S teller hvor mange lukkete rom flatene avgrenser. Denne argumentasjon kan da benyttes til å konkludere at V - E + F = 2 - 2g for et polyeder i tre dimensjoner med g hull eller hanker.

Referanser

1. H.G. Flegg, From Geometry to Topology, Dover Publications, New York (1974). ISBN 0-486-41961-4.
2. A.S. Schwarz, Topology for Physicists, Springer, New York (1996). ISBN 978-3-642-08131-6.

Litteratur

• D. W. Blackett, Elementary Topology, Academic Press, London (1982). ISBN 0-12-103060-1

Eksterne lenker

• F. Rønning, Hvor mange kanter har en firedimensjonal terning? Tangenten, 2, 5-17 (2010).