Genus (matematikk)

Genus innenfor matematikken er et tall som brukes til å karakterisere de topologiske egenskapene til en algebraisk kurve eller flate. På norsk blir også ordet «slekt» benyttet etter det tyske ordet Geschlecht som opprinnelig ble innført for denne størrelsen. Den vanlige betegnelsen er bokstaven g eller eventuelt p. Generelt kan man si at desto større genus er for slike geometriske objekt, desto mer kompliserte er de.

Overflaten til en dobbelt torus eller smultring har genus g = 2.

Kurver

Mange kurver kan defineres ved en algebraisk ligning som er et polynom i to variable. Løsningen y = f(x) av denne vil da fremstille en algebraisk kurve som ligger i et plan med koordinatene (x,y). Graden d til polynomet er lik den høyeste eksponenten som det inneholder og bestemmer genus til kurven ved formelen^[1]

${\displaystyle g={1 \over 2}(d-1)(d-2)-\delta }$.

Første ledd er lik med det maksimale antall dobbeltpunkt kurven kan ha. Det er singulære punkt hvor den krysser seg selv. Tallet δ er det aktuelle antall singulære punkt kurven har. Er δ = 0, sies kurven å være glatt. For eksempel er alle kjeglesnitt, som ellipser og hyperbler, glatte kurver gitt ved polynom av andre grad. Derfor har de d = 2 som betyr at genus g = 0 for disse klassiske kurvene.

Kubiske kurver er definert å ha grad d = 3. Er de uten singulære punkt, kalles de for elliptiske kurver og har genus g = 1. Et eksempel er kurven y² = x³ − x + 1. Plotted som en funksjon av reelle tall, kan kurven ha en eller to sammenhengende komponenter og har ingen likhetspunkt med en vanlig ellipse. Elliptiske kurver er viktige i moderne kryptografi.^[2]

Flater

Genus for en flate sier noe om hvordan den henger sammen. De fleste, kompakte flater er orienterbare og har et «genus» som er lik med det maksimale antall kurver man kan kutte ut på flaten uten at den faller fra hverandre.^[3] For eksempel vil derfor en kuleflate ha genus g = 0, mens torusen har g = 1. Smultringen må nemlig kuttes over to ganger for å deles i to ikke-sammenhengende flater.

Man kan øke genus til en flate ved å sy på et handtak som topologisk ser ut som en torus. Man klipper et hull i flaten og et tilsvarende hull i torusen og syr de to åpningene sammen. Dermed har genus blitt en enhet større. På dette viset kan man si at genus til en kompakt flate teller hvor mange handtak man må sy på en kuleflate for å få en flate med samme topologi. Mer direkte sier genus g  hvor mange handtak flaten har.

En kompakt flate kan også tilordnes en annen, topologisk størrelse. Dette er dens Euler-karakteristikk χ  som kan bestemmes ved triangulering. Sammenhengen mellom disse er

${\displaystyle \chi =2-2g}$.

Dette stemmer med at kuleflaten har Euler-karakteristiskk χ = 2 og genus g = 0.

Riemann-flater

Egenskapene til algebraiske kurver y = f(x) kommer best frem ved å la de to variable anta komplekse verdier. En slik kompleks kurve i et 2-dimensjonalt, komplekst rom vil derfor være en glatt flate i et 4-dimensjonalt, reelt rom og omtales som en Riemann-flate. Både kuleflaten og torus er eksempel på Riemann-flater.

Ved hjelp av Riemann-Hurwitz-formelen kan man vise at genus for kurven som definerer Riemann-flaten, er den samme som kommer frem fra den topologiske definisjonen her. For eksempel så har en elliptisk kurve g = 1, mens den tilsvarende flaten er en torus med samme genus.^[4]

Referanser

1. G. Fischer, Ebene algebraische Kurven, Verlag Vieweg, Wiesbaden (1994). ISBN 978-3-528-07267-4.
2. N. Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, Springer-Verlag, New York (1994). ISBN 0-387-94293-9.
3. D. W. Blackett, Elementary Topology, Academic Press, London (1982). ISBN 0-12-103060-1.
4. N. Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, Springer-Verlag, New York (1993). ISBN 0-387-97966-2.