Transferfunksjon

Transferfunksjon, systemfunksjonen eller overføringsfunksjon definerer eit kontinuerleg lineært system i s-planet, eller eit diskret lineært system z-planet. Både s- og z-planet er synonyme med frekvensplanet, der frekvensen generelt er kompleks, slik at han òg modellerer demping. Føremonen med å arbeida med transferfunksjonar og signal i ${\displaystyle s}$-planet eller ${\displaystyle z}$-planet er at mange matematiske operasjonar er enklare i ${\displaystyle s}$-planet og ${\displaystyle z}$-planet enn i tidsplanet. Transferfunksjonar spelar ei viktig rolle i samband med signalhandsaming, reguleringsteknikk, telekommunikasjon, elektroakustikk, elektronikk, osb.

Kontinuerleg system

Samanhengen mellom impulsrespons og transferfunksjon, for eit tidskontinuerleg system.

Transferfunksjonen til eit tids-kontinuerleg SISO-system er generelt ein rasjonal funksjon av forma ^[1][2]

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\{y(t)\}}{{\mathcal {L}}\{u(t)\}}}={\frac {B(s)}{A(s)}}}$

${\displaystyle ={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}+b_{2}s^{-2}++b_{3}s^{-3}+\cdots +b_{M}s^{-M}}{1+a_{1}s^{-1}+a_{2}s^{-2}+a_{3}s^{-3}+\cdots +a_{N}s^{-N}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\sum _{i=0}^{M}b_{i}s^{-i}}{1+\sum _{j=1}^{N}a_{j}s^{-j}}},}$

der ${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\{y(t)\}}$ er Laplace-transforma til utgangssignalet ${\displaystyle y(t)}$ og ${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\{u(t)\}}$ er Laplace-transforma til inngangssignalet ${\displaystyle u(t)}$. Når transferfunksjonen er kjend kan vi finna utgangssignalet som produktet av transferfunksjonen og Laplace-transforma av inngangssignalet:

${\displaystyle Y(s)=H(s)U(s).}$

I tidsplanet finn ein utgangssignalet som foldinga av impulsresponsen ${\displaystyle h(t)}$ og inngangssignalet ${\displaystyle u(t)}$:

${\displaystyle y(t)=h(t)*u(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)u(t-\tau )d\tau .}$

Multiplikasjon er ein enklare operasjon enn folding, så det er som oftast lettare å arbeida med transferfunksjonar enn med impulsresponsar og signal i tidsplanet.

Polar og nullpunkt

Om vi faktoriserer tellar- og nevnar-polynomena ${\displaystyle B(s)}$ respektivt ${\displaystyle A(s)}$ får vi ${\displaystyle H(s)}$ på forma:

${\displaystyle H(s)=b_{0}{\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})\cdots (s-z_{M})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots (s-p_{N})}}s^{N-M}=b_{0}{\frac {\prod _{i=1}^{M}(s-z_{i})}{\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}s^{N-M}.}$

Når ${\displaystyle s}$ er lik en av røtene til tellarpolynomet (${\displaystyle s=z_{i})}$ ser vi at ${\displaystyle H(s)=0}$. Dei ${\displaystyle M}$ komplekse verdiene ${\displaystyle z_{i}}$, som resulterer i at ${\displaystyle H(s)}$ blir lik null, blir difor kalla «nullpunkta» til transferfunksjonen ${\displaystyle H(s)}$. Tilsvarende ser vi at når ${\displaystyle s}$ er lik en av røtene til nevnerpolynomet (når ${\displaystyle s=p_{i})}$ går verdien til ${\displaystyle H(s)}$ mot ${\displaystyle \infty }$. Røtene til nevnarpolynomet blir kalla «polane» til transferfunksjonen. Transferfunksjonen ${\displaystyle H(s)}$ er fullstendig bestemt av polene og nullpunktene, saman med konstanten ${\displaystyle b_{0}}$.

Diskret system

Samanhengen mellom impulsrespons og transferfunksjon, for eit tidsdiskret system.

Transferfunksjonen til eit tids-diskret LTI-system SISO-system har forma

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y(n)\}}{{\mathcal {Z}}\{u(n)\}}}={\frac {B(z)}{A(z)}},}$

${\displaystyle ={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}++b_{3}z^{-3}+\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+a_{3}z^{-3}+\cdots +a_{N}z^{-N}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\sum _{i=0}^{M}b_{i}z^{-i}}{1+\sum _{j=1}^{N}a_{j}z^{-j}}},}$

der ${\displaystyle Y(z)={\mathcal {Z}}\{y(n)\}}$ er Z-transformasjonen til utgangssekvensen ${\displaystyle y(n)}$ og ${\displaystyle U(z)={\mathcal {Z}}\{u(n)\}}$ er Z-transformasjonen til inngangssekvensen ${\displaystyle u(n)}$ (Med sekvens meiner ein sampla signal). Når transferfunksjonen er kjend kan vi finna utgangssignalet som produktet av transferfunksjonen og Z-transforma av inngangssekvensen:

${\displaystyle Y(z)=H(z)U(z).}$

I tidsplanet finn ein utgangssekvensen som foldinga av impulsresponsen ${\displaystyle h(n)}$ og inngangssignalet ${\displaystyle u(n)}$:

${\displaystyle y(n)=h(n)*u(n)=\Sigma _{m=-\infty }^{\infty }h(m)u(n-m).}$

Føremonen med å arbeida i ${\displaystyle z}$-planet er den same som for ${\displaystyle s}$-planet, at matematiske operasjonar er enklare enn i tidsplanet.

Polar og nullpunkt

Om vi faktoriserer tellar- og nevnar-polynomena ${\displaystyle B(z)}$ respektivt ${\displaystyle A(z)}$ får vi ${\displaystyle H(z)}$ på forma:

${\displaystyle H(z)=b_{0}{\frac {(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{M})}{(z-p_{1})(z-p_{2})\cdots (z-p_{N})}}z^{N-M}=b_{0}{\frac {\prod _{i=1}^{M}(z-z_{i})}{\prod _{i=1}^{N}(z-p_{i})}}z^{N-M}.}$

Når ${\displaystyle z}$ er lik en av røtene til tellarpolynomet (${\displaystyle z=z_{i})}$ ser vi at ${\displaystyle H(z)=0}$. Dei ${\displaystyle M}$ komplekse verdiene ${\displaystyle z_{i}}$, som resulterer i at ${\displaystyle H(z)}$ blir lik null, blir difor kalla «nullpunkta» til transferfunksjonen ${\displaystyle H(z)}$. Tilsvarende ser vi at når ${\displaystyle z}$ er lik en av røtene til nevnerpolynomet (når ${\displaystyle z=p_{i})}$ går verdien til ${\displaystyle H(z)}$ mot ${\displaystyle \infty }$. Røtene til nevnarpolynomet blir kalla «polane» til transferfunksjonen. Transferfunksjonen ${\displaystyle H(z)}$ er fullstendig bestemt av polene og nullpunktene, saman med konstanten ${\displaystyle b_{0}}$.

Referansar

1. Kuo, F.F., Network analysis ans syntesis, John Wiley & Sons., 2. utg., 1966.
2. Lathi, B.P., Linear systems and signals, Oxford Univ. Press, 2010.

Sjå òg

• Impulsrespons
• s-planet
• z-planet
• Laplace-transformasjon
• Z-transformasjon