Frekvensplanet

Frekvensplanet er eit domene som framstiller fysiske eller matematiske storleikar (signal) som funksjon av frekvens^[1][2][3]. Ordinaten syner talverdien og anscissaen (frekvensaksen) gir informasjon om frekvensen til dei ulike komponentane. Frekvensen kan vera skalert i rad/s eller i Hz. Informasjonen i frekvensplanet er kompleks, så i tillegg til verdien på dei ulike frekvenskomponsntane treng ein òg fasen. Ein kan anten plotta talverdiane, som i fig. 1, og fasen av dei ulike komponentane (ikkje vist i fig. 1), eller reel og imaginære verdiar. Det mest vanlege er å plotta talverdiar og fase. Ut frå eit slikt plott av til dei ulike frekvenskomponentane ser ein at det tilsvarande signalet i tidsplanet er sett saman av fleire signal, med ulik frekvens og amplitude.

Fig. 1 Eit signal representert i frekvensplanet (einsidig spektrum).

Einsidige og tosidige spektrum

I fig. 1 startar frekvensaksen ved null og aukar mot høgare frekvensar langs anscissaen. Høgda på dei ulike frekvenskomponentane er proporsjonal med energien i dei einskilde komponentane, som signalet er sett saman av. Det er ofte enklare å nytta eit tosidig spektrum, som vist i fig. 3, der midten av abscissen svarar til frekvensen null. Energien i signalet er da delt mellom komponentar med positiv frekvens og komponentar med negativ frekvens. Ein kan konvertera frå eit tosidig til eit einsidig spektrum ved å fjerna komponentane med negative frekvens (til venstre for midten) og dobla høgda på komponentane med positiv frekvens (til venstre for midten); dette for at dei to ulike spektruma skal ha same energi. Eit tosidig spektrum gir ikkje meining reint fysisk (tida måtte i så fall gå baklengs), men det fører til enklare matematiske uttrykk når ein konverterer mellom tids- og frekvensplanet. I samband med modulasjon er det òg ein føremon å arbeida med eit tosidig spektrum.

Periodiske signal

Signal som er periodiske i tidsplanet kan tranformerast til frekvensplanet ved hjelp av Fourier-transformasjon. Ein ender da opp med eit diskret frekvensspektrum, dvs, at energien i eit fysisk signal er konsentrert i ein grunnkomponent ${\displaystyle f_{0}}$ (komponenten med lågast frekvens) og harmoniske komponentar ${\displaystyle f_{k}}$, som har frekvensar som er relaterte til ${\displaystyle f_{0}}$ som

${\displaystyle f_{k}=kf_{0},\ k=2,3,\cdots }$

Ei sinuskurve har berre ein frekvenskomponent og all energien er konsentrert i denne komponenten. Ein konstant verd i tidsplanet svarar til ein frekvenskomponent med frekvensen null. Når ein ein dekomponerer signal i tidsplanet i harmoniske frekvenskomponentar, inneheld alle andre signal fleire frekvenskomponentar, som ved Fourier-analyse. (Det finst fleire andre måtar å dekomponera eit signal på, og da er ikkje dette lenger tilfelle.) For signal som ikkje er periodiske lyt ein ta i bruk andre metodar.

Spekteret til ei firkantkurve

Fig. 2 Firkantkurve, der ${\displaystyle T}$ er perioden til firkantkurva og ${\displaystyle \tau }$ er pulsbreidda.

Fig.3 Det tosidige spekteret til firkantkurva i fig. 2 er ein sinc-funksjon, der ${\displaystyle \Delta f=2/T}$ er avstanden mellom frekvenskomponentane og ${\displaystyle 1/\tau }$ er breidda på hovedloben.

Det kan visast, ved hjelp av Fourier-transformasjon, at frekvensspekteret til ei firkantkurve, fig. 2, har form av ein sinc-funksjon

${\displaystyle X(\omega _{1}k)={\frac {\tau }{T}}{\mbox{sinc}}(\pi k\tau /T),\ k=2,3,\cdots ,}$

der ${\displaystyle T}$ er perioden til firkantkurva, ${\displaystyle \tau }$ er pulsbreidda og ${\displaystyle \omega _{1}}$ er frekvensen til grunnkomponenten, i rad/s. Etter som ein sinc-funksjon, fig. 3, går asymttotiskt mot null gjer og energien i spekteret det når frekvensen aukar. Bandbreidda til eit perfekt firkantsignal er difor uendeleg, men talverdien til frekvenskomponentane vert etter kvart svært liten etter som frekvensen aukar. Fysiske signal kan ikkje ha uendeleg bandbreidd, så det er ikkje muleg å generera heilt perfekte fysiske firkantkurver.

Som vist i fig. 3 er bredda på hovedloben i sinc-funksjonen ${\displaystyle 2/\tau }$, men etter som dette er eit tosidig spektrum svarar midten av hovedloben til frekvensen null, så målt brå null er breidda lik ${\displaystyle 1/\tau }$. Avstanden mellom frekvenskomponentane er ${\displaystyle \Delta f=1/T}$. Når pulsbreidda, fig. 2, vert redusert aukar breidda på hovedloven til sinc-funksjonen, som er det same som at bandbreidda til signalet aukar. Di større bandbreidd eit signal har, di større bandbreidd må forsterkarar, kommunikasjonskanalar, filter, etc. som signalet passerer gjennom ha.

Sjå òg

• Tidsplanet
• s-planet
• Frekvensanalyse
• Bode-plott

Referansar

1. Kuo, F.F., Network analysis ans syntesis, John Wiley & Sons., 2. utg., 1966.
2. Lathi, B.P., Linear systems and signals, Oxford Univ. Press, 2010.
3. Haykin, S. og van Veen, B., Signals and systems, John Wiley & Sons, 1999.