Alternatieve algebra

In de abstracte algebra is een alternatieve algebra een algebra waarin de vermenigvuldiging niet associatief hoeft te zijn, maar alleen alternatief. Dat wil zeggen dat voor alle ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ in de algebra geldt:

${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$

${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

Elke associatieve algebra is vanzelfsprekend alternatief, maar dat geldt ook voor enige strikte niet-associatieve algebra's, zoals de octonionen. De sedenionen, aan de andere kant, zijn niet alternatief.

De associator

Alternatieve algebra's worden zo genoemd omdat ze precies de algebra's zijn waarvoor de associator alternatief is. De associator is een trilineaire afbeelding die wordt gegeven door

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$

Per definitie is een multilineaire afbeelding alternatief als het resultaat 0 is zodra twee van zijn argumenten gelijk zijn. De linker- en rechteridentiteiten van een algebra zijn gelijkwaardig met

${\displaystyle [x,x,y]=0}$

${\displaystyle [y,x,x]=0}$

Deze twee identiteiten impliceren samen dat de associator totaal scheef-symmetrisch is. Dat wil zeggen dat voor alle ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$, en voor elke permutatie ${\displaystyle \sigma }$ geldt:

${\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}$

Dit is equivalent aan de zogeheten flexibele identiteit

${\displaystyle (xy)x=x(yx)}$

De associator is daarom alternerend. Omgekeerd is iedere algebra waarin de associator alterneert, duidelijk alternatief. Door symmetrie is elke algebra die voldoet aan een van de twee onderstaande condities:

• links alternatieve identiteit: ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• rechts alternatieve identiteit: ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$
• flexibele identiteit: ${\displaystyle (xy)x=x(yx)}$,

alternatief en voldoet daarom aan alle identiteiten.

Een alternerende associator is totaal scheef-symmetrisch. Het omgekeerde geldt ook, mits de karakteristiek van het onderliggende lichaam/veld ongelijk is aan 2.