Associatieve algebra

In de wiskunde is een associatieve algebra een vectorruimte (of meer algemeen, een moduul), die ook de bewerking vermenigvuldiging van vectoren in een distributieve en associatieve manier toestaat.

Definitie

Een associatieve algebra A over een lichaam (Nederlands) of veld (België) K is gedefinieerd als een vectorruimte over K samen met een K-bilineaire vermenigvuldiging A x A → A. De afbeelding van (x,y) wordt geschreven als xy. De associatieve wet moet gelden:

• (x y) z = x (y z) voor alle x, y en z in A.

De bilineariteit van de vermenigvuldiging kan worden uitgedrukt als

• (x + y) z = x z + y z    voor alle x, y, z in A,
• x (y + z) = x y + x z    voor alle x, y, z in A,
• a (x y) = (a x) y = x (a y)    voor alle x, y in A en a in K.

Als A een neutraal element bevat, dat wil zeggen een element 1 zodat 1x = x1 = x voor alle x in A, dan noemen we A een unitaire associatieve algebra. Zo'n algebra is een ring en bevat alle elementen a van het lichaam of veld K door identificatie met a1.

De dimensie van de associatieve algebra A over het veld K is zijn Hamel dimensie als een K-vectorruimte.