Loading AI tools
Wikimedia-lijst Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
De onderstaande lijst in de wiskunde bevat de eindige groepen van kleine orde. Groepen, die isomorf zijn worden één keer vermeld.
De lijst kan worden gebruikt om te bepalen met welke bekende groep een gegeven eindige groep G isomorf is: bepaal eerst de orde van G, zoek dan de kandidaten met dezelfde orde in de onderstaande lijst. Als men weet of G al of niet abels is, kunnen sommige kandidaten meteen worden geëlimineerd. Om onderscheid te maken tussen de overblijvende kandidaten, kan men naar de orde van de elementen van de groep kijken en deze orde vervolgens vergelijken met de orden van de elementen van de kandidaat-groep.
De notaties Zn en Dihn hebben het voordeel dat de puntgroepen in drie dimensies Cn en Dn niet dezelfde notatie hebben. Van hetzelfde abstracte groeptype zijn er meer isometriegroepen dan deze twee.
De notatie G × H staat voor het directe product van de twee groepen. G ⋊ H staat voor een semidirecte product, waar H op G inwerkt; wanneer de bijzondere actie van H op G is weggelaten, is het omdat alle mogelijke niet-triviale acties in dezelfde groep of in een daarmee isomorfe groep resulteren.
De abelse en de enkelvoudige groepen worden gegeven. Voor groepen van orde n < 60, zijn de enkelvoudige groepen precies de cyclische groepen Zn, waar n een priemgetal is. We gebruiken het gelijkheidsteken ("=") om isomorfie aan te duiden.
Het identiteitselement in de cykelgrafen wordt door een zwarte cirkel aangegeven. De laagste orde, waarvoor de cykelgraaf niet uniek een groep representeert is orde 16.
In de lijst van ondergroepen worden de triviale groep en de groep zelf niet vermeld. Wanneer er meer isomorfe ondergroepen zijn, wordt hun aantal tussen haakjes aangegeven.
De eindige abelse groepen kunnen gemakkelijk worden geclassificeerd: het zijn de cyclische groepen en hun directe producten.
Orde | Groep | Ondergroepen | Eigenschappen | Cykelgraaf |
---|---|---|---|---|
1 | triviale groep = Z1 = S1 = A2 | - | verschillende eigenschappen gelden triviaal | |
2 | Z2 = S2 = Dih1 | - | enkelvoudig, de kleinste niet-triviale groep | |
3 | Z3 = A3 | - | enkelvoudig | |
4 | Z4 | Z2 | ||
Viergroep van Klein = Z2 × Z2 = Dih2 | Z2 (3) | de kleinste niet-cyclische groep | ||
5 | Z5 | - | enkelvoudig | |
6 | Z6 = Z3 × Z2 | Z3 , Z2 | ||
7 | Z7 | - | enkelvoudig | |
8 | Z8 | Z4 , Z2 | ||
Z4 × Z2 | Z22, Z4 (2), Z2 (3) | |||
Z23 | Z22 (7), Z2 (7) | de niet-identiteits elementen corresponderen met de punten in het Fano-vlak, de Z2 × Z2 ondergroepen met de lijnen | ||
9 | Z9 | Z3 | ||
Z32 | Z3 (4) | |||
10 | Z10 = Z5 × Z2 | Z5 , Z2 | ||
11 | Z11 | - | enkelvoudig | |
12 | Z12 = Z4 × Z3 | Z6 , Z4 , Z3 , Z2 | ||
Z6 × Z2 = Z3 × Z22 | Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22 | |||
13 | Z13 | - | enkelvoudig | |
14 | Z14 = Z7 × Z2 | Z7 , Z2 | ||
15 | Z15 = Z5 × Z3 | Z5 , Z3 | ||
16 | Z16 | Z8 , Z4 , Z2 | ||
Z24 | Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15) | |||
Z4 × Z22 | Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 × Z2 (6) | |||
Z8 × Z2 | Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2 | |||
Z42 | Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3) |
Orde | Groep | Ondergroepen | Eigenschappen | Cykelgraaf |
---|---|---|---|---|
6 | S3 = Dih3 | Z3 , Z2 (3) | De kleinste niet-abelse groep | |
8 | Dih4 | Z4, Z22 (2) , Z2 (5) | ||
Quaternionengroep, Q8 = Dic2 | Z4 (3), Z2 | De kleinste Hamiltoniaanse groep | ||
10 | Dih5 | Z5 , Z2 (5) | ||
12 | Dih6 = Dih3 × Z2 | Z6 , Dih3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7) | ||
A4 | Z22 , Z3 (4) , Z2 (3) | De kleinste groep die aantoont dat een groep geen ondergroep van elke orde hoeft te hebben die een deler is van de orde van de groep: geen ondergroep van orde 6 (Zie Stelling van Lagrange en de stellingen van Sylow.) | ||
Dic3 = Z3 ⋊ Z4 | Z2, Z3, Z4 (3), Z6 | |||
14 | Dih7 | Z7, Z2 (7) | ||
16[1] | Dih8 | Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9) | ||
Dih4 × Z2 | Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11) | |||
Veralgemeende quaternionengroep, Q16 = Dic4 | ||||
Q8 × Z2 | Hamiltoniaan | |||
De orde 16 quasidihedrale groep | ||||
De orde 16 modulaire groep | ||||
Z4 ⋊ Z4 | ||||
De groep gegenereerd door de Pauli-matrices | ||||
G4,4 = Z22 ⋊ Z4 |
Orde | Totaal[2] | Abels | Niet-abels |
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 0 |
2 | 1 | 1 | 0 |
3 | 1 | 1 | 0 |
4 | 2 | 2 | 0 |
5 | 1 | 1 | 0 |
6 | 2 | 1 | 1 |
7 | 1 | 1 | 0 |
8 | 5 | 3 | 2 |
9 | 2 | 2 | 0 |
10 | 2 | 1 | 1 |
11 | 1 | 1 | 0 |
12 | 5 | 2 | 3 |
13 | 1 | 1 | 0 |
14 | 2 | 1 | 1 |
15 | 1 | 1 | 0 |
16 | 14 | 5 | 9 |
17 | 1 | 1 | 0 |
18 | 5 | 2 | 3 |
19 | 1 | 1 | 0 |
20 | 5 | 2 | 3 |
21 | 2 | 1 | 1 |
22 | 2 | 1 | 1 |
23 | 1 | 1 | 0 |
24 | 15 | 3 | 12 |
25 | 2 | 2 | 0 |
26 | 2 | 1 | 1 |
27 | 5 | 3 | 2 |
28 | 4 | 2 | 2 |
29 | 1 | 1 | 0 |
30 | 4 | 1 | 3 |
Het groeptheoretische computeralgebrasysteem GAP bevat de "Kleine groepenbibliotheek". Deze bibliotheek geeft toegang tot beschrijvingen van groepen met een kleine orde. In deze lijst komen groepen, die isomorf zijn, één keer voor. Op dit moment bevat de bibliotheek de onderstaande groepen:[3]
De bibliotheek bevat beschrijvingen van de beschikbare groepen in een vorm die leesbaar is voor computers.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.