Orde (groepentheorie)

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, heeft orde twee nauw verwante betekenissen:

• de orde van een groep is gelijk aan de kardinaliteit, dat wil zeggen het aantal elementen van de groep;
• de orde, soms periode, van een element ${\displaystyle g}$ van een groep is het kleinste positieve gehele getal ${\displaystyle m}$, zodat ${\displaystyle g^{m}=e}$, waarin ${\displaystyle e}$ het neutrale element van de groep is. Als zo'n ${\displaystyle m}$ niet bestaat, zegt men dat ${\displaystyle g}$ een oneindige orde heeft. Alle elementen van eindige groepen zijn van een eindige orde.

De orde van de groep ${\displaystyle G}$ wordt genoteerd als ${\displaystyle |G|}$, of ook wel als ${\displaystyle \mathrm {ord} (G)}$, en de orde van een element ${\displaystyle g\in G}$ door ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)}$.

Voorbeelden

• De symmetriegroep ${\displaystyle \mathrm {S} _{6}}$ heeft als elementen de 6 permutaties van 3 objecten, dus ${\displaystyle \mathrm {ord} (\mathrm {S} _{6})=6}$. De groep heeft de onderstaande cayley-tabel.

*	${\displaystyle e=123}$	${\displaystyle s=132}$	${\displaystyle t=213}$	${\displaystyle u=231}$	${\displaystyle v=312}$	${\displaystyle w=321}$
${\displaystyle e}$	${\displaystyle ee=123=e}$	${\displaystyle se=132=s}$	${\displaystyle te=213=t}$	${\displaystyle ue=231=u}$	${\displaystyle ve=312=v}$	${\displaystyle we=321=w}$
${\displaystyle s}$	${\displaystyle es=132=s}$	${\displaystyle ss=123=e}$	${\displaystyle ts=231=u}$	${\displaystyle us=213=t}$	${\displaystyle vs=321=w}$	${\displaystyle ws=312=v}$
${\displaystyle t}$	${\displaystyle et=213=t}$	${\displaystyle st=312=v}$	${\displaystyle tt=123=e}$	${\displaystyle ut=321=w}$	${\displaystyle vt=132=s}$	${\displaystyle wt=231=u}$
${\displaystyle u}$	${\displaystyle eu=231=u}$	${\displaystyle su=321=w}$	${\displaystyle tu=132=s}$	${\displaystyle uu=312=v}$	${\displaystyle vu=123=e}$	${\displaystyle wu=213=t}$
${\displaystyle v}$	${\displaystyle ev=312=v}$	${\displaystyle sv=213=t}$	${\displaystyle tv=321=w}$	${\displaystyle uv=123=e}$	${\displaystyle vv=231=u}$	${\displaystyle wv=132=s}$
${\displaystyle w}$	${\displaystyle ew=321=w}$	${\displaystyle sw=231=u}$	${\displaystyle tw=312=v}$	${\displaystyle uw=132=s}$	${\displaystyle vw=213=t}$	${\displaystyle ww=123=e}$

De orde van het neutrale element ${\displaystyle e}$ is gelijk aan 1.

De elementen ${\displaystyle s,t}$ en ${\displaystyle w}$ zijn involuties, ze hebben orde 2.

Zowel ${\displaystyle u}$ als ${\displaystyle v}$ hebben orde 3, want

${\displaystyle u^{3}=u^{2}u=vu=e}$

${\displaystyle v^{3}=v^{2}v=uv=e}$

• Een groep waarin alle elementen, behalve het neutrale element waarvan de orde 1 is, van de orde 2 zijn, dus involuties zijn, is commutatief.

${\displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba}$