Faktor (matematik)

Dalam matematik, faktor, juga dikenali sebagai pembahagi bagi suatu integer ${\displaystyle N}$, adalah suatu integer ${\displaystyle m}$ yang boleh didarabi dengan integer lain ${\displaystyle k}$ untuk menghasilkan ${\displaystyle n}$. ${\displaystyle m}$ faktor kepada ${\displaystyle N}$ juga bermakna bahawa ${\displaystyle n}$ ialah gandaan bagi ${\displaystyle m}$ serta bahawa ${\displaystyle N}$ boleh dibahagi dengan ${\displaystyle m}$ untuk menghasilkan integer ${\displaystyle k}$; ${\displaystyle {\frac {N}{m}}=k}$.

Konsep faktor juga mempunyai peranan penting dalam bidang sains komputer.

Faktor adalah konsep asas dalam dalam teori nombor, kriptografi, sains komputer dan bidang matematik secara kesuluruhannya.

Tatatanda

Suatu integer bukan-sifar ${\displaystyle m}$ ialah faktor kepada ${\displaystyle N}$ jika ${\displaystyle N=mk}$ dimana ${\displaystyle k}$ ialah suatu integer yang lain. Pernyataan tersebut boleh ditulis seperti ini;

• ${\displaystyle N\mid m}$, ${\displaystyle m\neq 0}$

Jika m bukan faktor kepada n ia ditulis dengan letakkan palang melalui garisan tersebut;

• ${\displaystyle N\not \mid m}$

Jenis Faktor

Faktor Remeh

${\displaystyle +1}$, ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle N}$ dan ${\displaystyle -N}$ adalah faktor bagi mana-mana integer ${\displaystyle N}$. Faktor-faktor ini dikenali sebagai faktor remeh. Jika wujud faktor bagi ${\displaystyle N}$ selain daripada faktor remeh, maka faktor itu dianggap sebagi faktor tidak remeh. Nombor yang hanya mempunyai faktor remeh dikenali sebagai nombor perdana manakala nombor yang mempunyai faktor tidak remeh dikenali sebagai nombor gubahan.

Faktor Perdana

Faktor Perdana bagi${\displaystyle 42}$.

Faktor perdana ialah nombor perdana yang berfaktor kepada integer ${\displaystyle N}$. Semua nombor gubahan boleh didapati dengan pendaraban faktor perdana.

Terdapat beberapa fungsi yang berkait dengan faktor perdana. Antara fungsi ini adalah fungsi Pengira Nombor Perdana. Ia ditandai dengan ${\displaystyle \pi (x)}$ dan mengeluarkan suatu output ${\displaystyle j}$, dimana ${\displaystyle j}$ ialah bilangan nombor perdana yang berada sebelum ${\displaystyle x}$. Jadi;

${\displaystyle \pi (25)=9}$ kerana wujud 9 nombor perdana sebelum ${\displaystyle 25}$: ${\displaystyle \{2,3,5,7,11,13,17,19,23\}}$

Selain fungsi Pengira Nombor Perdana, juga terdapat fungsi Perdana Omega, yang dibelah kepada dua iaitu fungsi Perdana Omega Kecil ${\displaystyle \omega (x)}$ dan fungsi Perdana Omega Besar ${\displaystyle \Omega (x)}$.

Semua integer ${\displaystyle N}$ boleh berada dalam bentuk faktor perdana ${\displaystyle p_{1}^{\,n_{1}}\times p_{2}^{\,n_{2}}\times p_{3}^{\,n_{3}}\times \cdots \ p_{k}^{\,n_{k}}}$ dimana ${\displaystyle p_{i}}$ ialah faktor perdana, ${\displaystyle n_{i}}$ ialah bilangan faktor pedana ${\displaystyle p_{i}}$ dan ${\displaystyle k}$ ialah nombor asli. ${\displaystyle \omega (x)}$ akan mengeluarkan output ${\displaystyle k}$, jadi;

${\displaystyle \omega (1155)=\omega (3\times 5^{2}\times 7)=3}$ kerana ${\displaystyle n\{3,5,7\}=3}$

Manakala, ${\displaystyle \Omega (x)}$ hasil tambah ${\displaystyle n_{i}}$ dari ${\displaystyle n_{1}}$ kepada ${\displaystyle n_{k}}$;

• ${\displaystyle \Omega (216)=\Omega (2^{3}3^{4})=7}$ kerana, ${\displaystyle 3+4=7}$.

tetapi jika antara nombor ${\displaystyle n_{i}}$ bersamaan dengan ${\displaystyle 1}$, maka ia tidak dikira;

• ${\displaystyle \Omega (46464)=\Omega (2^{1}3^{1}4^{3}11^{2})=5}$ kerana ${\displaystyle 3+2=5}$.

.

${\displaystyle \mathrm {FSTB} (36,60)=8}$ ditunjuk menggunakan Rajah Venn

Faktor Sepunya Terbesar (FSTB)

Maklumat selanjutnya: Faktor sepunya terbesar

Faktor sepunya terbesar (diabriviasi dengan FSTB) bagi integer ${\displaystyle N_{1}}$ dan ${\displaystyle N_{2}}$ adalah integer ${\displaystyle m}$, dimana ${\displaystyle m}$ ialah faktor yang paling besar secara mungkin. Suatu fungsi boleh digunakan untuk mewakili FSTB iaitu ${\displaystyle \mathrm {FSTK} (N_{1},N_{2})}$. Jadi,

• ${\displaystyle \mathrm {FSTB} (24,32)=8}$, kerana ${\displaystyle 8}$ adalah faktor terbesar dalam ${\displaystyle F_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}}$ dan ${\displaystyle F_{32}=\{1,2,4,8,16,32\}}$.

Fungsi FSTB juga boleh diperekstensikan untuk menerima lebih input - ${\displaystyle \mathrm {FSTB} (N_{1},N_{2},N_{3},\cdots ,N_{k})}$. Selain itu, juga terdapat suatu kaitan antara fungsi FSTB dengan fungsi gandaan sepunya terkecil;

• ${\displaystyle \mathrm {FSTB} (N_{1},N_{2})={\frac {N_{1}N_{2}}{\mathrm {GSTK} (N_{1},N_{2})}}}$
• ${\displaystyle \mathrm {FSTB} (N_{1},N_{2},N_{3},\cdots N_{k})={\frac {\prod _{i=1}^{k}N_{i}}{\mathrm {GSTK} (N_{1},N_{2},N_{3},\cdots ,N_{k})}}}$

.

Kaedah Pemfaktoran Perdana

Pemfaktoran Perdana untuk ${\displaystyle 160}$.

Pemfaktoran perdana adalah cara untuk menulis suatu integer ${\displaystyle n}$ sebagai hasil darab faktor perdananya (i.e. ${\displaystyle 28=2^{2}\times 7}$).

Pilih mana-mana nombor ${\displaystyle n}$, kemudian bahagi nombor itu dengan satu faktor perdana. Ambil hasil bahagi itu dan ulangkan langkah sampai hasil bahagi yang bersamaan dengan ${\displaystyle 1}$.

Lihat Juga

• Gandaan
• Nombor bulat
• Integer
• Nombor perdana
• Nombor gubahan

Rujukan

bruh.