Растројување (астрономија)

Растројување — сложеното движење на масивно тело подложно и на други сили покрај гравитациското привлекување на друго масивно тело.^[1] Другите сили може да се предизвикани од трето (четврто, петто, итн.) тело, отпорот, како што е оној на атмосферата, или привлекувањето вон центарот на сплоснато иили некое друго неправилно тело.^[2]

Растројните сили на Сонцето кои влијаат на Месечината на две места во нејзината орбита. Сините стрелки ја прикажуваат насоката и големината на гравитациската сила на Земјата. Применувајќи го ова на местоположбите на Земјата и на Месечината не се предизвикува промена во положбата релеативно меѓусебно. Кога ќе се одземе од силата на Месечината (црни стрелки), она што пресостанува е растројната сила (црвени стрелки) на Месечината релативно кон Земјата. Бидејќи растројната сила е со спротивна насока и големина од спротивните страни на орбитата, предизвикува промена во обликот на орбитата.

Вовед

Изучувањето на растројувањето започнало со првите обиди за предвидување на планетарните движења на небото. Во старите времиња тоа било причина за мистичност. Њутн, во периодот кога го опишал неговите закони за движењето и гравитација, и ги применил за да ја направи првата анализа на растројувањата,^[2] препознавајќи ги сложените тешкотии за нивното пресметување.^[3] Многу од познатите математичари од тогаш посветувале внимание на различните придружни проблеми; во периодот меѓу XVIII и XIX век, се јавила потреба за прецизни табели за местоположбите на Месечината и планетите за навигација.

Сложените движењана гравитациските растројувања може да се раздвојат. Претпоставеното движење кое телото го следи под гравитациското влијание на друго тело вообичаено е конусен пресек, и може едноставно да се објасни со употреба на геометриски методи. Станува збор за т.н. проблем на две тела, или нерастроена Кеплерова орбита. Разликите меѓу оваа орбита и вистинската растројувањата предизвикани од дополнителните гравитациски ефекти на друго тело или други тела. Ако постои дури и едно значајно тело тогаш растроеното движење е проблем на три тела; ако пак има и други тела тогаш станува збор за проблем на n-тела. Општото аналитичко решение (математички израз за предвидување на местоположбите и движењето за било кој момент) постои само за проблемот на две тела; кога имаме повеќе од две тела аналитичките решенија постојат само во специјални случаи. Дури и проблемот на две тела е нерешлив ако едно од телата има неправилен облик.^[4]

Орбиталните ширини и должини на Меркур, растроени од Венера, Јупитер и сите останати планети од Сончевиот Систем, на интервали од 2,5 дена. Меркур би останал во центарот доколку не постои растројување.

Повеќето системи кои вклучуваат гравитациско привлекување се претставени од едно главно тело кое доминира со ефектите (на пример, ѕвезда, во случајот на ѕвезда тоа е планета, или пак во случај на планета тогаш е месечина). Гравитациските ефекти на другите тела може да се разгледуваат како растројување на предвиденото движење на планетата или месечината околу главното тело.

Математичка анализа

Општи растројувања

При методите на општи растројувања, општите диференцијални равенки, дали за движењето или за проментата на орбиталните елементи, се решаваат аналитички, најчесто со разложување на низи. Резултатот е вообичаено изразен преку алгебарски и тригонометриски функции на орбиталните елементи на телото кое се истражува и телата кои се растројуваат. Ова може да се примени општо во многу различни збирни услови, ин е се однесува на специфичено определен збир на гравитациски тела.^[5] Историски први кои биле истражувани се општите растројувања. Класичните методи се познати и како промена на елементите, промена на параметрите или промена на константите на интеграција. При овие методи, се зема предвид дека телото е секогаш во движење во конусен пресек, но притоа конусниот пресек постојано се менува поради растројувањето. Доколку сите растројувања би прекинале во еден момент, телото ќе продолжи да се движи бесконечно по сега непроменливиот конусен пресек; овој пресек е познат како затскривна орбита и орбиталните елементи во определен момент се токму оние ки се цел на методите на општите растројувања.^[2]

Општите растројувања ја искористуваат предноста на фактот дека многу проблеми во небесната механика, орбитата на двете тела се менува многу споро поради постоењето на растројувањат, орбитата на двете тела е добра првична апроксимација. Општите растројувања се применливи само кога растројните сили се за една величина помали или повеќе, од гравитациската сила на главното тело.^[4] Во Сончевиот Систем, ова е вообичаен случај со Јупитер, второто поголемо телокое има маса ос околу 1/1000 од онаа на Сонцето.

Методите на општите растројувања се претпочитаат за одредени видови на проблеми, како што изворите на одредени набљудувани движења се познати. Ова не е потребно кај специјалните растројувања; движењата би се предвидувале со слична прецизност, но нема никаква информација за причината која довела до распределбата на растроените тела (на пример, при орбитална резонанција).^[4]

Специјални растројувања

При методи на специјални растројувања од интерес се нумерички датотеки, кои ги претставуваат вредностите за местоположбите, брзините и забрзувачките сили на телата кои се истражуваа, и истите се основата на нумеричката интеграција на диференцијалните равенки за движење.^[6] Делотворно, местоположбите и брзините се растроени директно, и не се прави обид за пресметување на кривите на орбитите или пак орбиталните елементи.^[2]

Специјалните растројувања може да се применат при секој проблем од небесната механика, и не е ограничена од случаи каде растројните сили се мали.^[4] Еднаш кога ќе се применат за комети или мали планети, методите на специјални растројувања се основата на повеќето машински создадени планетарни ефемери на големите астрономски алманаси.^[2][7] Специјалните растројувања исто така се користат и за моделирање на орбитата со помош на компјутери.

Ковелова формулација

Ковелов метод. Силите од сите растројни тела (црно и сиво) се собираат и ја оформуваат вкупната сила на телото i (црвено), и сето ова нумерички се собира започнувајќи од почетната местоположба (епоха на затскривање).

Ковеловата формулација (именувана по Филип Херберт Ковел, кој заедно со А.К.Д. Кромлин, користеле сличен метод за предвидување на повторното враќање на Халеевата Комета) е можно наједоноставниот метод од специјалните растројни методи.^[8] Во систем на ${\displaystyle n}$ заемодејствувачки тела, овој метод математички го разрешува Њутновите сили на тело ${\displaystyle i}$ преку собирање на поединечните заемодејтва од другите ${\displaystyle j}$ тела:

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}=\sum _{\underset {j\neq i}{j=1}}^{n}{Gm_{j}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}) \over r_{ij}^{3}}}$

каде ${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}}$ е векторот на забрзувањето на ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle G}$ е гравитациската константа, ${\displaystyle m_{j}}$ е масата на телото ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$ се просторните вектори на телата ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ соодветно, и ${\displaystyle r_{ij}}$ е растојанието од телото ${\displaystyle i}$ до телото ${\displaystyle j}$. Сите вектори се насочени кон барицентарот на системот. Оваа равенка се разложува на компонети по ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ и сите се интегрирани нумерички за да оформат нова брзина и местоположбен вектор. Овој процес се повторува онолку пати колку што е потребно. Предноста на Ковеловиот метод е лесната применливост и програмибилност. Недостатокот настанува кога растројувањето станува доволно снажно по големина (кога едно тело е во непосредна близина на друго тело) грешките кој се појавуваат при употребата на методот стануваат исто така големи.^[9] Сепак, за многу проблеми во небесната механика, ситуацијата е сосема поинаква. Друг недостаток е поврзан со ситем со доминантно централно тело, како што е Сонцето, потребно е да се внесат многу значајни броеви во аритметиката поради големите разлики во силите на централното тело бројните и растројните тела, иако со современите сметачи ова веќе не е она ограничување од минатото.^[10]

Енкеов метод

Енкеов метод. Мошне преувеличен, малата разлика δr (сина) меѓу кружната, нерастројна орбита (црна) и растројната орбита (црвена), нумерички се интегрира од почетната местоположба (ера на кружна орбита).

Енкеовиот метод започнува со кружна орбита како водилка и ја интегрира нумерички за да ја разреши за промената од почетната орбита како функција од времето.^[11] Предностите на методот се во употребата на растројувања кои се мали по големина, па интегрирањето може да се одвива во поголеми чекори (при што се добиваат помали грешки), и методот е под мало влијание на крајните растројувања. Недостатокот е неговата сложеност; не може да се користи неограничено без претходно повремено да се надополни кружната орбита и да се продолжи од таа состојба, процес познат како исправка.^[9] Енкеовиот метод е сличен со методот на општо растројување при промена на елементите, со исклучок на исправката која се изведува при дискретни периоди односно не се изведуваат постојано.^[12]

Ако ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ е полупречничкиот вектор на кружната орбита ${\displaystyle \mathbf {r} }$ е полупречничкиот вектор на растроената орбита, а ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ е промената од кружната орбита,

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\rho }}}$ и равенката на движење на ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ е едноставно  (1)

${\displaystyle {\ddot {\delta \mathbf {r} }}=\mathbf {\ddot {r}} -{\boldsymbol {\ddot {\rho }}}}$.  (2)

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {\rho }}}}$се равенките за движење на${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }},}$

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =\mathbf {a} _{\text{per}}-{\mu \over r^{3}}\mathbf {r} }$ за растроената орбита  (3)

${\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {\rho }}}=-{\mu \over \rho ^{3}}{\boldsymbol {\rho }}}$ за нерастроената орбита,  (4)

каде ${\displaystyle \mu =G(M+m)}$ е гравитацискиот параметар со ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle m}$ се означени масите на централното тело и пррастроеното тело, ${\displaystyle \mathbf {a} _{\text{per}}}$ е растројното забрзување, и ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \rho }$ се големините на ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$.

Заменувајќи ги равенките (3) и (4) во равенката (2),

${\displaystyle {\ddot {\delta \mathbf {r} }}=\mathbf {a} _{\text{per}}+\mu \left({{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}\right),}$  (5)

која, во теорија, може да се интегрира двапати за да се определи ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$. Бидејќи кружната орбита е лесно пресметлива со методите за две тела, ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ и ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ се определени за ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и можат да се разрешат. Во реалноста, величината во заградите, ${\displaystyle {{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}}$, е разликата на два скоро еднакви вектори, и понатамошното дополнително обработување е потребно за да се избегне потребата од дополнителни значајни децимали.^[13][14] Енкеовиот метод бешее во поширока употреба пред да се воведат современите сметачи, кога поголемиот дел од пресметките се изведувани од сметачи.

Периодична природа

Гравитациска симулација прикажана графички, при што може да се забележат занесувањата на Меркур, Венера, Земјата, и Марс во следните 50.000 години. Точката 0 ја означува 2007 година.

Во Сончевиот Систем, голем дел од нарушувањата на орбитите на една планета од страна на друга планета се периодични, и се мали импулси секогаш кога планетата поминува покрај друга планета во орбитата. Ова предизвикува телата да ги следат движењата кои се периодични или квази периодични – како што е Месечината во нејзината силно растроена орбита, која се изучува како дел од теоријата за Месечината. Оваа периодична природа довела до откривањето на Нептун во 1846 година како резултат на растројувањата на орбитата на Уран.

Постојаните меѓусебни растројувања на планетите предизвикуваат долготрајни квази периодични промени во нивните орбитални елементи, ова е најочигледно кога две планети имаат орбитални периодии кои се во скоро приближна синхронизација. На пример, пет орбити на Јупитер (59,31 година) се скоро еднакви на две орбити на Сатурн (58,91 година). Ова предизвикува големи растројувања кај двете планети, во период од 918 години, времето кое е потребно за да се забележи мала разлика во нивните местоположби при врзување при еден цел круг, што првпат било забележано од страна на Лаплас.^[2] Венера во мометов е во орбита со најмало занесување, т.е. е најблиску до кружна орбита, од сите други планетарни орбити. Во период од 25.000 години', Земјата ќе има покружна (не толку занесена) орбита како онаа на Венера денес. Се покажало дека долгопериодичните нарушувања во Сончевиот Систем може да постанат хаотични при долги временски периоди; при одредени услови една или повеќе од планетите можно е да поминат низ орбиттите на други планети, што би довело до судири.^[15]

Орбитите на многу од малите тела во Сончевиот Систем, како што се кометите, се силно растроениa, особено од страна на гравитациските полиња на гасовитите џинови. Иако голем дел од овие растројувања се периодични, други не се, и овие се особено добри претставници на хаотичното движење. На пример, во април 1996 година, Јупитеровото гравитациско влијание предизвикало периодот на орбитата на Хале-Боповата комета да се намали 4.206 на 2.380 години, промена која нема да се исправи во некој догледен период.^[16]

Поврзано

• Создавање и развој на Сончевиот Систем
• Постојана орбита
• Молнија
• Нереида
• Затскривна орбита
• Орбитално моделирање
• Орбитална резонанција
• Сопствени орбитални елементи
• Стабилност на Сончевиот Систем

Наводи

Литература

• Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentals of Astrodynamics. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60061-0.
• Moulton, Forest Ray (1914). An Introduction to Celestial Mechanics (2 revised. изд.). Macmillan.
• Roy, A. E. (1988). Orbital Motion (3. изд.). Institute of Physics Publishing. ISBN 0-85274-229-0.

Наводи

1. Bate, Mueller, White (1971): ch. 9, p. 385.
2. Moulton (1914): ch. IX
3. Newton in 1684 wrote: "By reason of the deviation of the Sun from the center of gravity, the centripetal force does not always tend to that immobile center, and hence the planets neither move exactly in ellipses nor revolve twice in the same orbit. Each time a planet revolves it traces a fresh orbit, as in the motion of the Moon, and each orbit depends on the combined motions of all the planets, not to mention the action of all these on each other. But to consider simultaneously all these causes of motion and to define these motions by exact laws admitting of easy calculation exceeds, if I am not mistaken, the force of any human mind." (quoted by Prof G E Smith (Tufts University), in "Three Lectures on the Role of Theory in Science" 1. Closing the loop: Testing Newtonian Gravity, Then and Now); and Prof R F Egerton (Portland State University, Oregon) after quoting the same passage from Newton concluded: "Here, Newton identifies the "many body problem" which remains unsolved analytically." Архивирано на 10 март 2005 г.
4. Roy (1988): ch. 6, 7.
5. Bate, Mueller, White (1971): p. 387; sec. 9.4.3, p. 410.
6. Bate, Mueller, White (1971), pp. 387–409.
7. See, for instance, Jet Propulsion Laboratory Development Ephemeris.
8. Cowell, P. H.; Crommelin, A. C. D. (1910). „Investigation of the Motion of Halley's Comet from 1759 to 1910“. Greenwich Observations in Astronomy. Bellevue, for His Majesty's Stationery Office: Neill & Co. 71: O1. Bibcode:1911GOAMM..71O...1C.
9. Danby, J.M.A. (1988). Fundamentals of Celestial Mechanics (second. изд.). Willmann-Bell, Inc. ISBN 0-943396-20-4., chapter 11.
10. Herget, Paul (1948). The Computation of Orbits. privately published by the author., p. 91 ff.
11. Encke, J. F. (1854). Über die allgemeinen Störungen der Planeten. Berliner Astronomisches Jahrbuch für 1857. стр. 319–397.
12. Battin (1999), sec. 10.2.
13. Bate, Mueller, White (1971), sec. 9.3.
14. Roy (1988), sec. 7.4.
15. Погледајте ги наводите за Стабилност на Сончевиот Систем
16. Don Yeomans (1997-04-10). „Comet Hale–Bopp Orbit and Ephemeris Information“. JPL/NASA. Посетено на 2008-10-23.

Дополнителна литература

• P.E. El'Yasberg: Introduction to the Theory of Flight of Artificial Earth Satellites

Надворешни врски

• Solex (by Aldo Vitagliano) predictions for the position/orbit/close approaches of Mars
• Gravitation Sir George Biddell Airy's 1884 book on gravitational motion and perturbations, using little or no math.(at Google books)