Обиколка (геометрија)

Обиколка — обемот на една кружница или елипса,^[1] т.е. лачната должина на кружницата кога би се отворила и исправила како отсечка.^[2] Поопшто земено, обемот е кривинската должина околу секоја затворна фигура. Обиколката може да се однесува на самата кружница, т.е. работ на круг. Обиколката на сфера е обиколката или должината на било која од нејзините големи кружници.

  обиколка C

  пречник D

  полупречник R

  центар или почеток O

Обиколка = π × пречник = 2π × полупречник.

Кружница

Обиколката на една кружница е растојанието околу неа, но доколку растојанието е претставено како прави линии, ова не може да се користи како дефиниција. Под овие околности, обиколката на една кружница ќе се дефинира како граничната вредност на параметрите на впишани правилни многуаголници како што се зголемува бројот на страни до бесконечност.^[3] Поимот обиколка се користи при мерењето на физички предмети, како и за апстрактни геометриски облици.

Кога пречникот на кружницата е 1, нејзината обиколка изнесува ${\displaystyle \pi .}$

Кога полупречникот на кружницата е 1 (единична кружница) нејзината обиколка изнесува ${\displaystyle 2\pi .}$

Поврзаност со π

Обиколката на една кружница е поврзана со една од најважните математички константи —пи (${\displaystyle \pi .}$). Првите неколку децимали на ${\displaystyle \pi }$ се 3,141592653589793 ...^[4] Пи се дефинира како соодносот помеѓу обиколката ${\displaystyle C}$ на кружница и нејзиниот пречник ${\displaystyle d:}$ $${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$$

Може да се рече дека соодносот на обиколката изнесува двапати полупречникот. Гореспоменатата формула може да се пресрочи за обиколката: $${\displaystyle {C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!}$$

Употребата на константата π е сеприсутна во математиката, инженерството и науката.

Во делото „Мерење на кругот“ (250 г. п.н.е.), Архимед покажал дека овој сооднос (${\displaystyle C/d,}$ не користејќи го називот π) е поголем од 31071 но помал од 317 со пресметување на обиколките на впишан и опишан правилен многуаголник со 96 страни.^[5] Овој метод на приближување на π се користел со векови, и со тек на време станувал се поуточнет користејќи многуаголници со сè повеќе страни. Последната ваква пресметка е направена во 1630 г. од австрискиот астроном Кристоф Гринбергер кој користел многуаголници со 10⁴⁰ страни.

Елипса

Не постои општа формула за обиколката на елипса преку големата и малата полуоска која би користела само елементарни функции. Сепак, постојат приближни формули со овие параметри. Едно такво приближување на Леонард Ојлер (1773) за канонската елипса $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$ гласи $${\displaystyle C\sim \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}$$ Некои горни и долни граници на обиколката на канонската елипса со ${\displaystyle a\geq b}$ се:^[6] $${\displaystyle 2\pi b\leq C\leq 2\pi a,}$$ $${\displaystyle \pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),}$$ $${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}$$

Тука горната граница на ${\displaystyle 2\pi a}$ е обиколката на опишана концентрична кружница која минува низ крајните точки на големата оска, а долната граница ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ е обемот на впишан ромб со темиња во крајните точки на големата и малата оска.

Обиколката на елипса може да се изрази точно по пат на потполн елиптичен интеграл од втор вид.^[7] Поточно, $${\displaystyle C=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,}$$ каде ${\displaystyle a}$ е должината на големата полуоска, а ${\displaystyle e}$ е ексцентрицитетот ${\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}$

Поврзано

• Лачна должина
• Обем
• Изопериметарско неравенство

Наводи

1. San Diego State University (2004). „Perimeter, Area and Circumference“ (PDF). Addison-Wesley. Архивирано од изворникот (PDF) на 6 октомври 2014.
2. Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (3. изд.), Addison-Wesley, стр. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
3. Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman and Co., стр. 565, ISBN 0-7167-0456-0
4. Sloane, N. J. A. (уред.). „Sequence A000796“. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
5. Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2. изд.), Addison-Wesley Longman, стр. 109, ISBN 978-0-321-01618-8
6. Jameson, G.J.O. (2014). „Inequalities for the perimeter of an ellipse“. Mathematical Gazette. 98 (499): 227–234. doi:10.2307/3621497. JSTOR 3621497. S2CID 126427943.
7. Almkvist, Gert; Berndt, Bruce (1988), „Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, π, and the Ladies Diary“, American Mathematical Monthly, 95 (7): 585–608, doi:10.2307/2323302, JSTOR 2323302, MR 0966232, S2CID 119810884

Надворешни врски

• Периметар на кружница (обиколка) и плоштина на круг, Панче Пецаноски, e-matematika.mk (македонски)
• Обиколка на елипса — Нумерикана (англиски)