Константна функција

Не треба да се поистоветува со Константа (математика).

Во математиката, константна (постојана) функција е функција чија (излезна) вредност е иста за секоја влезна вредност, т.е. функцијата враќа една иста вредност.^[1][2][3] На пример, функцијата  ${\displaystyle y(x)=4}$  или  ${\displaystyle y=4}$  е константна функција бидејќи вредноста на  ${\displaystyle y(x)}$  е 4 независно колку е вредноста на  ${\displaystyle x}$  (види слика).

Константна функција
y(x)=c, c∈ℝ
Основни особини
Домен	(−∞,∞)
Кодомен	{c}
Паритет	парен
Одредени вредности
Фиксна точка	c
Други особини
Максимум	c
Минимум	c
Извод	(c)′=0

Константна функција y(x)=4

Основни својства

Како реална функција од една реална променлива, константна функција ја има општа форма  ${\displaystyle y(x)=c}$  или само  ${\displaystyle y=c}$ .

Графикот на константна функција  ${\displaystyle y(x)=c}$  е хоризонтална права во рамнината која минува низ точката ${\displaystyle (0,c)}$.^[4] Доменот, т.е. множеството на допуштените вредности на константна функција е ℝ (сите реални броеви). Иако не фигурира независно променливата х од десна страна, се смета дека се врши „празна замена“ на х со што се добива едната иста вредност, т.е. вредноста с. Сликата или кодоменот, т.е. множеството на излезните вредности е множеството со еден елемент {c}.

Пример: Функцијата ${\displaystyle y(x)=-1}$  или само  ${\displaystyle y=-1}$  е константната функција со  ${\displaystyle c=-1}$ . Имено, y(0)=–1, y(–2.7)=–1, y(π)=–1,.... Независно од влезната вредност x, излезната вредност е y=–1.

Во контекст на полиномни функции со една независно променливата х, не-нулта константна функција е полином од степен 0,  ${\displaystyle f(x)=c\,,\,\,c\neq 0}$ . Оваа функција нема пресек со x-оската, односно функцијата нема нула (корен). Од друга страна,  ${\displaystyle f(x)=0}$  е идентично нулта функција, и е (тривијална) константна функција каде што секоја x е корен. Графикот на оваа функција е самата х-оска (во рамнината).^[5]

Константна функција е парна функција, т.е. графикот на константна функција е симетрична во однос на y-оската.

Во контекст каде што е дефиниран, извод на една функција ја мери брзината на промена на зависно променливата во однос на независно променливата. Бидејќи кај константна функција ${\displaystyle y(x)=c}$ не се менува, нејзиниот извод е нула во секоја точка x, односно ${\displaystyle (c)'=0}$ .^[6]

Пример: Дадена е константната функција  ${\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}$ . Изводот на y е идентично нултата функција  ${\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0}$ .

Обратното важи. Имено, ако изводот у'(x)=0 е идентично нултата функција, следува дека у(x) е константна функција.^[7] Во доказот се користи теорема за средна вредност.

Формална дефиниција и обопштување

Функција f : A → B е константна функција ако f(X) = f(Y) за секој X и Y во A.^[8]

Пример од живот: Продавница каде што секој производ се продава за 3 еврa може да се смета како константна функција.

Пример: z(x,y)=2 е константна функција од А=R² и B=R каде што секој X=(x,y) се пресликува во 2. Графикот на оваа константна функција е рамнината во простор која е паралелна со х0у рамнината и која врви низ точката (0,0,2). Друг пример: z(x,y)=0 e идентично нултата функција чиј график е х0у рамнината во простор.

Пример: Поларната функција ρ(φ)=2,5 е константната функција каде што секој агол φ се пресликува во полупречникот ρ=2,5. Графикот на оваа константна функција е кружницата со полупречник 2,5 во рамнината.

Општа константна функција

Константна функција z(x,y)=2

Константна поларна функција ρ(φ)=2,5

Наводи

1. Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. стр. 94. ISBN 0-8160-5124-0. (англиски)
2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 175. Посетено на 1 јануари 2014.
3. Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, London. стр. 313. ISBN 0-8493-9640-9. (англиски)
4. Dawkins, Paul (2007). „College Algebra“ (англиски). Lamar University. стр. 224. Посетено на 1 јануари 2014.
5. Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (1. изд.). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. стр. 22. ISBN 978-0078682278. (англиски)
6. Dawkins, Paul (2007). „Derivative Proofs“ (англиски). Lamar University. Посетено на 1 January 2014.
7. „Zero Derivative implies Constant Function“ (англиски). Архивирано од изворникот на 2014-01-12. Посетено на 1 January 2014.
8. http://planetmath.org/ConstantFunction

Поврзанo

• Функција
• Полином, Линеарна функција, Квадратна функција
• Теореми за средна вредност

Надворешни врски

• Weisstein, Eric W. „Constant Function“ (англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 јануари 2014.