дел од геометријата кој ја проучува врската помеѓу аглите и нивните страни From Wikipedia, the free encyclopedia
Тригонометрија: правоаголен триаголник со агол α | |
Опис на страните на аголот α | |
тип | рамнинска фигура |
образ | правоаголен триаголник |
равенка | a²+b²=c² |
поддршка | sin(α)=a/c cos(α)=b/c tan(α)=a/b |
Во математиката, тригонометрија е гранката во која се проучуваат својствата на слични правоаголни триаголници.[1]
Бидејќи главните две тригонометриски функции синус и косинус кои ги опишуваат односите на страните на правоаголни триаголници имаат брановидна форма честопати се смета дека тригонометрија вклучува и проучување на брановидни, односно т.н. синусоидни функции.[2]
Зборот тригонометрија е од грчките зборови trigonon=триаголник и metro=мерка.[3]
Нека е даден правоаголен триаголник ⊿ABC. По дефиниција, правоаголен триаголник има внатрешен прав агол, а останатите два агли се остри и взаемно комплементни. Во стандардно означување, темето на правиот агол се означува со голема буква С, а спротивната страна т.н. хипотенуза се означува со мала буква c. Другите две темиња се означуваат со А и В, соодветните нивни агли со α и β и соодветните спротивни страни со a и b (види слики).
Го анализираме аголот α.
Дефинираме три броеви кои се односите помеѓу три комбинации на две страни на овој триаголник во однос на аголот α.
sin(α)= спротивната страна/хипотенузата
Оваа реченица се чита: синус од аголот α e a поделено со c, т.е. должината на катетата спротивна на аголот α поделена со должината на хипотенузата.
cos(α)= налегнатата страна/хипотенузата
Оваа реченица се чита: косинус од аголот α e b поделено со c, т.е. должината на катетата соседна на аголот α поделена со должината на хипотенузата.
tan(α)= спротивната страна/налегнатата страна
Оваа реченица се чита: тангенс од аголот α e a поделено со b, т.е. должината на страната спротивна на аголот α поделена со должината на катетата соседна на аголот α.
Има и три реципрочни комбинации на односи (котангенс=1/тангенс, секанс=1/косинус и косеканс=1/синус), но истите во Р Македонија ретко се користат (и воопшто не се наоѓаат на дигитрони или во програмски јазици).
Забележуваме дека во погорното, димензиите на дадениот правоаголен триаголник не биле специфицирани, само фактот дека ⊿ABC е правоаголен триаголник со остар агол α. Се разбира дека овие дефиниции за синус, косинус и тангенс не би биле корисни ако зависеле од триаголникот, а не само од аголот α. Доказот дека вредностите зависат само од α е доказ за т.н. добродефинираност на тригонометриските вредности (види подолу).
Доказ: Според дефинициите на тригонометриските вредности:
Доказ: Во кој било правоаголен триаголник, според Питагоровата теорема следува: а²+b²=c². Според дефинициите:
Честопати математичарите ја пишат последната равенка во следната кратка форма:
Тука се докажува: За секој правоаголен триаголник со остар агол α, вредноста на sin(α) како однос на спротивната страна/хипотенузата е иста. Доказите за косинус и тангенс се аналогни.
Два триаголници се слични ако имаат два пара на складни, т.е. еднакви внатрешни агли. Автоматски и третиот пар агли се еднакви бидејќи збирот на внатрешни агли е секогаш 180° (види сличност на триаголници.
Ако два триаголници се слични, тогаш соодветниот однос на сите три пара соодветни страни од двата триаголници е истиот број (тоа е дефиницијата на сличност), т.е.
Забележуваме дека оваа споредба е помеѓу поединечните страни на два слични триаголници. Во тригонометријата се прави споредба помеѓу две страни од еден (правоаголен) триаголник.
Земајќи го (на пример) парот страни a и c. Од (тројната) равенка за сличност на триаголници имаме:
Инаку средувајќи ја оваа равенка имаме:
Следува А: При слични триаголници, односот на кој било пар страни на еден триаголник е истата вредност на односот на соодветниот пар страни на другиот триаголник. Ова е првиот клуч на тригонометријата.
По дефиниција, правоаголен триаголник има внатрешен прав агол, т.е. два правоаголни триаголници секогаш имаат еден пар еднакви внатрешни агли. Дефиницијата за сличност бара два пара еднакви агли.
Значи, два правоаголни триаголници се слични ако еден пар од останатите два агли се еднакви. Автоматски и последниот пар агли се еднакви, но тоа е последица. Доволен доказ за сличноста на два правоаголни триаголници е да се покаже дека еден пар остри агли се еднакви.
Следува Во: Два правоаголни триаголници со еднаков остар агол α се слични. Ова е вториот клуч на тригонометријата.
Нека ⊿ABC и ⊿A'B'C' се правоаголни триаголници со остар агол α.
Нека е даден правоаголен триаголник ⊿ABC. Го ставиме триаголникот во стандардна позиција, односно го ставиме аголот α во стандардна позиција во Декартов правоаголен координатен систем на следниот начин. Темето на α, т.е. точката А е координатниот почеток О(0,0). Налегната страна b лежи на позитивнивниот дел од x-оската и хипотенузата c лежи во првиот квадрант со што третата спротивна страна a е вертикална. (Значи, во стандардна позиција, страната b е хоризонтална односно налегната.)
Нека е даден сега и друг правоаголен триаголник ⊿A'B'C' со истиот агол α во стандардна позиција.
Овие два триаголници се вгнездуваат еден во друг. (Тоа следува од сличноста.) Должините на страните на едниот триаголник се множат со истиот фактор за да се добиваат должните на соодветните страни на другиот триаголник.[4] Значи, и од тука се гледа дека тригонометриските вредности зависат само од аголот α, односно се добродефинирани.
Во погорното преку правоаголни триаголници дефинирани се тригонометриски вредности за агли 0°<α<90° односно 0<α<π/2. Овие дефиниции се прошируваат за сите агли односно за позитивни и негативни агли и за големи агли, т.е. за α∈[-∞°,∞°]=[-∞,∞] (радијани).
Основна регулатива: За секој агол постој складен агол 0°≤α<360° односно 0≤α<2π.[5][6]
Нека α е (кој било) агол во стандардна позиција со теме О(0,0) и краен крак ОВ. Референтниот агол αr на α е најмалиот остар агол помеѓу кракот ОВ и x-оската. Попрецизно, нека В(b,a) е точка на крајниот крак на α. Дефинираме точка С(b,0) на x-оската. Тогаш αr е ненасочениот остар агол ∠СОВ во референтен правоаголен триаголник на α е ⊿CОВ.[7]
Референтни агли по квадрант | |||||
Квадрант | |||||
---|---|---|---|---|---|
I | |||||
II | |||||
III | |||||
IV |
Референтни агли за 0°=0, 90°=π/2, 180°=π, 270°=3π/2, 360°=2π | ||||||
Квадрант | Повеќе | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
IV-I | Празен агол | |||||
I-II | Прав агол | |||||
II-III | Рамен агол | |||||
III-IV | Негативен прав агол | |||||
IV-I | Полн агол |
Знакови на тригонометриски вредности по квадрант | |||||
Квадрант | |||||
---|---|---|---|---|---|
I | |||||
II | |||||
III | |||||
IV |
Тригонометриски вредности за 0°=0, 90°=π/2, 180°=π, 270°=3π/2, 360°=2π | ||||
Секоја точка Т(a,b) на единичната кружница определува агол α во стандардна позиција таква што sin(α)=a и cos(α)=b. Тука a>0 и b<0. |
Во геометријата, единична кружница е кружница во рамнина со полупречник 1 и со центар во координатниот почеток О(0,0).[8][9] Значи равенката со која се дефинираат сите точки на единична кружница е x²+y²=1.
Од друга страна, нека Т(b,a) е точка на единичната кружница. Како точка, Т еднозначно определува агол α=∠XOT каде што координатниот почеток 0(0,0) е темето, а Х=(1,0). Доколку Т не е во I квадрант, го формираме соодветниот референтен агол и референтниот правоаголен триаголник (види слики погоре каде што буквата Т ја заменува буквата В). Бидејќи Т е точка на единичната кружница, хипотенузата, т.е. отсечката ОТ=c е и полупречник на кружницата. Значи, c=1 и следува:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.