Lauks (fizika)

Fizikā lauks ir funkcija, kas laiktelpas punktiem piekārto kādu fizikālu lielumu.^[1][2][3] Piemēram, laikapstākļu prognozes bieži tiek pasniegtas ar karti, kur dažādām vietām piekārtots skaitlis — noteiktā laikā prognozētā temperatūra.

Elektriskā lauka līnijas ap pozitīvu (sarkans) un negatīvu (zils) lādiņu.

Piekārtotais lielums var būt ne tikai skaitlis, bet arī vektors, tenzors, spinors, operators vai jebkāds cits objekts, kas attēlo fizikālu lielumu.

Vektoru jeb pirmās kārtas tenzoru lauka piemērs būtu straumes karte, kur katram kādas ūdenskrātuves punktam piešķirts vektors — plūsmas ātrums. Elektrodinamiku, savukārt, var formulēt gan izmantojot divus mijiedarbojošos vektoru laukus: elektrisko lauku un magnētisko lauku, gan arī ar vienu otrās kārtas tenzoru lauku, ko sauc par elektromagnētisko tenzoru.^[4][5][6]

Klasiski lauka vērtība punktā apraksta mijiedarbību, kas notiktu ja šajā punktā ievietotu kādu daļiņu, ko sauc par testa daļiņu — tik mazu, ka tās ietekme uz pašu lauku nebūtu vērā ņemama. Piemēram, elektriskā lauka intensitāte ir Kulona spēka, ko justu punktā ievietots neliels lādiņš, attiecība pret lādiņu.

Mūsdienās, īpaši kvantu lauka teorijas kontekstā, uzskata, ka lauks eksistē arī neatsaucoties uz testa daļiņu: tas aizņem vietu, tam piemīt enerģija, un tā klātbūtne izslēdz klasisko "īsteno vakuumu".^[7] Fiziķi uzskata elektromagnētiskos laukus par fizikālām vienībām: "Fakts, ka elektromagnētiskajam laukam var būt impulss un enerģija, padara to ļoti reālu ... daļiņa veido lauku, un lauks darbojas uz citu daļiņu, un laukam ir tādas pazīstamas īpašības kā saturētā enerģija un impulss, tāpat kā daļiņām."^[8] Novērots, ka vairuma lauku spēks samazinās pieaugot attālumam no avota. Piemēram, daudzu klasisko lauku kā gravitācijas lauka Ņūtona gravitācijas teorijā vai elektrostatiskā lauka klasiskajā elektromagnētismā, stiprums ir apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam no avota.

Vēsture

Īzaka Ņūtona izpratnē universālās gravitācijas likums tikai izteica gravitācijas spēku, kas darbojās starp jebkuru masīvu priekšmetu pāri. Aplūkojot daudzu tādu ķermeņu kustību, kuri visi mijiedarbojas viens ar otru, piemēram, planētas Saules sistēmā, strādāt ar spēku starp katru ķermeņu pāri atsevišķi ātri kļūst neparocīgi aprēķiniem. Astoņpadsmitajā gadsimtā tika ieviests jauns lielums, lai vienkāršotu šo gravitācijas spēku grāmatvedību. Šis lielums, gravitācijas lauks, katrā telpas punktā dod kopējo gravitācijas radīto paātrinājumu, ko tur varētu sajust mazs objekts. Tas nekādā veidā nemainīja fiziku: nebija nozīmes tam, vai visi gravitācijas spēki uz objektu tika aprēķināti individuāli un pēc tam summēti, vai arī visi ieguldījumi vispirms tika summēti kā gravitācijas lauks un pēc tam piemēroti objektam.^[9]

Lauks kā neatkarīgs koncepts sāka attīstīties deviņpadsmitajā gadsimtā reizē ar elektromagnētisma teorijas attīstību. Sākotnēji stadijā Andrē Marī Ampērs un Šarls Ogistēns Kulons tika galā, lietojot likumus, kas pauž spēkus starp elektrisko lādiņu vai elektrisko strāvu pāriem. Tomēr kļuva daudz dabiskāk izmantot lauku pieeju un izteikt šos likumus ar elektriskā un magnētiskā lauka palīdzību; 1849. gadā Maikls Faradejs ieviesa terminu “lauks”.^[9]

Lauka neatkarīgā iedaba kļuva redzamāka pateicoties Džeimsa Klerka Maksvela atklājumam, ka viļņi šajos laukos izplatās ierobežotā ātrumā. Tātad spēki uz lādiņiem un strāvām vairs nebija atkarīgi tikai no citu lādiņu un strāvu pozīcijām un ātrumiem tai pašā brīdī, bet arī no to koordinātēm un ātrumiem pagātnē.^[9]

Maksvels sākumā neuzskatīja lauku kā fundamentālu objektu, kas varētu patstāvīgi pastāvēt. Viņš domāja, ka līdzīgi skaņai, kas izplatās gaisā, arī elektromagnētiskais lauks apraksta kādas vides, ko dēvēja par ēteri, deformāciju. Tomēr eksperimenti parādīja, ka tā ne vella nav. Ja tā būtu, novērotajam elektromagnētisko viļņu ātrumam būtu jābūt atkarīgam no novērotāja ātruma attiecībā pret ēteri. Alberts Maikelsons un Edvards Morlijs mēģināja izmantot šo īpatnību, lai noteiktu ēteŗa kustības ātrumu ap Zemeslodi. Taču Maikelsona-Morlija eksperiments neizdevās — gaismas ātrums dažādos virzienos nebija atšķirīgs. Šie novērojumi noveda pie speciālās relativitātes teorijas, kuru Alberts Einšteins publicēja 1905. gadā. Šī teorija mainīja to, kā kustīgu novērotāju viedokļi bija savstarpēji saistīti. Viņi kļuva savstarpēji saistīti tādā veidā, ka elektromagnētisko viļņu ātrums Maksvela teorijā visiem novērotājiem būtu vienāds. Pzūdot nepieciešamībai pēc fona vides, fiziķi sāka domāt par laukiem kā patiesi neatkarīgām vienībām.^[9]

20. gadsimta 20. gadu beigās elektromagnētiskajam laukam pirmoreiz piemēroja jaunos kvantu mehānikas likumus. 1927. gadā Pols Diraks pielietoja kvantu laukus un veiksmīgi izskaidroja, kā atoma pāriešana zemākā kvantu stāvoklī izraisa fotona, elektromagnētiskā lauka kvanta, spontānu izstarošanu. Tam drīz sekoja sapratne (pateicoties Paskuāla Jordāna, Jūdžīna Vīgnera, Vernera Heisenberga un Volfganga Pauli veikumam), ka visas daļiņas, ieskaitot elektronus un protonus, var interpretēt kā dažu kvantu lauku kvantus, paaugstinot laukus līdz dabas fundamentālāko objektu statusam.^[9]

Piemēri

Brīvā izpratnē jebkuru funkciju, kas piekārto vērtības telpas punktiem var uzskatīt par lauku. Gan pārticības līmeni dažādās valstīs, gan krāsu, kas izvēlēta kādas vietas apzīmēšanai kartē. Un arī nefizikāliem lielumiem reizēm var piemērot lauka teorijas elementus.^[10] Fizikā par lauka jēdzienu parasti runā, kad ir jāanalizē vērtību izmaiņa telpā vai laikā.

Skalāri lauki

Par skalāriem laukiem sauc laukus, kuru piekārtotā vērtība neizmainās, mainot koordinātu sistēmu. Visi lauki, kuri piekārto skaitlisku vērtību, ir skalāri lauki.

Šādi ir daudzi taustāmu, izmērāmu lielumu lauki. Temperatūras lauks ir noderīgs siltumprocesu analīzē — siltums plūst pretēji temperatūras pieauguma virzienam. Saskaņā ar Furjē siltumvadīšanas likumu, siltuma plūsma ir pretēja un proporcionāla temperatūras gradientam. Līdzīgi difūzijas process saistīts ar difuzējošās vielas blīvuma gradientu, savukārt koncentrācijas gradients rada osmotisko spiedienu.

Arī skalāri potenciāli, piemēram, elektriskais un gravitācijas, ir skalāri lauki.

Ir arī interesantāki skalāri lauki, kuru vērtība ir nevis skaitlis, bet kāds operators vai vērtību kortežs. Tāds ir, piemēram, Higsa lauks.^[11]

Vektoru lauki

Vēsturiski elektriskais lauks ir pirmais, kas nopietni aplūkots kā lauks, aplūkojot Faradeja spēka līnijas . Vēlāk līdzīgi tika aprakstīts gravitācijas lauks.

Ņūtona gravitācija

Klasiskajā gravitācijā masa ir gravitācijas lauka g avots.

Ņūtona gravitācija klasiski apraksta gravitācijas spēku kā divu masu savstarpēju mijiedarbību.

Ķermenis ar masu ${\displaystyle M}$ rada gravitācijas lauku ${\displaystyle \mathbf {g} }$, kas apraksta tā ietekmi uz citiem ar masu apveltītiem objektiem. ${\displaystyle M}$ gravitācijas lauks kādā punktā, uz kuru no punkta ${\displaystyle M}$ norāda vektors ${\displaystyle \mathbf {r} }$, atbilst attiecībai starp spēku ${\displaystyle \mathbf {F} }$, ar ko ${\displaystyle M}$ iedarbojas uz testa masu^{[P 1]} ${\displaystyle m}$, kas atrodas ${\displaystyle \mathbf {r} }$, un pašu testa masu:^[12]

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$

Saskaņā ar Ņūtona gravitācijas likumu, ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ir^[12]

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

kur ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ir vienības vektors ${\displaystyle \mathbf {r} }$ virzienā. Tad ${\displaystyle M}$ gravitācijas lauks ir^[12]

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

Tā kā gravitācijas spēks ${\displaystyle \mathbf {F} }$ir potenciāls, gravitācijas lauku ${\displaystyle \mathbf {g} }$ var izteikt kā skalāra lauka gradientu. Šo funkciju sauc par gravitācijas potenciālu ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$:

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).}$

Elektromagnētisms

Pirmo reizi lauka kā fizikāla lieluma nozīmi apzinājās Maikls Faradejs, pētot magnētismu. Viņš saprata, ka elektriskie un magnētiskie lauki ne tikai atspoguļo spēkus, kas diktē daļiņu kustību, bet tie ir reāli arī paši par sevi, jo tie nes enerģiju.

Šīs idejas noveda pie tā, ka Džeimss Klerks Maksvels izveidoja pirmo vienoto lauku teoriju fizikā, ieviešot elektromagnētiskā lauka vienādojumus. Šo vienādojumu mūsdienu versiju sauc par Maksvela vienādojumiem.

Elektrostatika

Testa daļiņa^{[P 2]} ar lādiņu ${\displaystyle q}$ izjūt spēku ${\displaystyle \mathbf {F} }$, kas atkarīgs tikai no daļiņas lādiņa. Līdzīgi gravitācijai varam ieviest elektrisko lauku ${\displaystyle \mathbf {E} }$ tā, lai izpildās ${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }$. Izmantojot šo un Kulona likumu, iegūstam, ka elektriskais lauks vienas lādētas daļiņas dēļ ir

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

Elektriskais lauks ir potenciāls lauks, tāpēc to var raksturot ar skalāru potenciālu ${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )}$:

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla \varphi (\mathbf {r} ).}$

Magnetostatika

Konstantas strāvas ${\displaystyle I}$, kas plūst pa posmu ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$, radītais magnētiskais lauks ${\displaystyle \mathbf {B} }$ punktā, uz kuru no strāvas norāda vektors ${\displaystyle \mathbf {r} }$, ir

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {Id{\boldsymbol {\ell }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

Magnētiskais lauks uz tuvumā esošām kustīgām lādētām daļiņām pieliek spēku atšķirīgi nekā iepriekš aprakstītie spēku lauki. Spēks, ko ${\displaystyle \mathbf {B} }$ pieliek lādiņam ${\displaystyle q}$, kas kustas ar ātrumu ${\displaystyle \mathbf {v} }$, ir

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ).}$

Magnētiskais lauks nav potenciāls, tāpēc to nevar aprakstīt ar skalāru potenciālu, taču to var uzrakstīt, izmantojot vektorpotenciālu, ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$.

E un B lauki elektrisko lādiņu (melns / balts) un magnētisko polu (sarkans / zils) dēļ.^[13][14] Augšpusē: E lauks elektriskā dipola momenta d dēļ. Apakšā pa kreisi: B lauks matemātiska magnētiskā dipola m dēļ, ko veido divi magnētiski monopoli. Apakšā pa labi: B lauks īsta magnētiskā dipola momenta m dēļ, kādi atrodami vielā (nesastāvošs no monopoliem).

Elektrodinamika

Vispārīgā gadījumā lādiņa blīvuma ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$ un strāvas blīvuma ${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)}$ klātbūtnē būs gan elektriskais, gan magnētiskais lauks, un abi mainīsies laikā. Tos nosaka Maksvela vienādojumi, diferenciālvienādojumu sistēma, kas ${\displaystyle \mathbf {E} }$ un ${\displaystyle \mathbf {B} }$ tieši saista ar ${\displaystyle \rho }$ un ${\displaystyle \mathbf {j} }$.^[15]

Šo sistēmu var aprakstīt arī elektromagnētiskā skalārā potenciāla ${\displaystyle \varphi }$ un vektorpotenciāla ${\displaystyle \mathbf {A} }$ izteiksmē. Vienādojumu sistēma, kas pazīstama kā retardētie potenciāli, ļauj aprēķināt ${\displaystyle \varphi }$ un ${\displaystyle \mathbf {A} }$ no ${\displaystyle \rho }$ un ${\displaystyle \mathbf {j} }$,^{[P 3]} un no tiem elektriskos un magnētiskos laukus nosaka ar šīm sakarībām:^[16]

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$

Reizēm, īpaši relativitātes teorijā, šos potenciālus apraksta ar vienu 4-vektoru, pieliekot skalāro potenciālu kā papildus pirmo komponenti vektorpotenciālam. To sauc par elektromagnētisko 4—potenciālu:

${\displaystyle A^{\alpha }=(\varphi /c,\mathbf {A} )}$

E un B lauki elektrisko lādiņu (melns / balts) un magnētisko polu (sarkans / zils) dēļ.^[13][14] E lauki stacionāro elektrisko lādiņu dēļ un B lauki stacionāro magnētisko lādiņu dēļ (dabā atsevišķi N un S monopoli nepastāv). Kustībā (ātrums v) elektriskais lādiņš inducē B lauku, bet magnētiskais lādiņš (dabā nav sastopams) ierosina E lauku.

Tenzoru lauki

Aplūkojot mehāniskā sprieguma vai deformāciju laukus reizēm novērojams, ka vienā punkta materiāls var tikt spiests vienā plaknē, stiepts citā un bīdīts trešajā plaknē. Lai šādas situācijas aprakstītu, nepietiek ar vektoriem. Spriegums un deformācijas ir tenzori.

Tāpat tenzoru lauki parādās arī citos gadījumos, kur spēki vai kāda lieluma izmaiņas var būt atkarīgas no aplūkojamā virziena — magnētiskā un dielektriskā caurlaidība, elektriskā pretestība, gaismas polarizācija, viskozitātes koeficients.^[17] Arī elektromagnētismu un gravitāciju mēdz aprakstīt, izmantojot tenzoru laukus un atbilstošu lauku teoriju.

Elektromagnētiskais tenzors

19. gadsimta beigās elektromagnētisko lauku saprata kā divu vektoru lauku pāri telpā. Mūsdienās to uzskata par vienu antisimetrisku 2. kārtas tenzoru lauku laiktelpā.

Elektromagnētisko tenzoru ${\displaystyle F}$ definē kā 4-potenciāla ${\displaystyle A}$ ārējo atvasinājumu:

${\displaystyle F=dA;}$

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}$

Šo tenzoru mēdz dēvēt arī par Faradeja tenzoru vai Maksvela bivektoru. Ar elektriskā un magnētiska lauka vektoru komponentēm to var izteikt vai kontravariantā, vai kovariantā formā:

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}};}$

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\mu \alpha }F^{\alpha \beta }\eta _{\beta \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

Ar šo tenzoru var elektromagnētiskā lauka uzvedību pierakstīt vienā Maksvela vienādojumā:

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta },}$

kur ${\displaystyle J^{\beta }}$ ir 4-strāva: ${\displaystyle J^{\beta }=(c\rho ,\mathbf {j} )}$.

Gravitācija vispārīgajā relativitātē

Vispārīgajā relativitātē masa—enerģija izliec laiktelpu (Einšteina tenzors G),^[18] un rotējoši asimetriski masas enerģijas sadalījumi ar impulsa momentu J rada gravitomagnētisko lauku H.^[19]

Einšteina gravitācijas teorija, ko sauc par vispārīgo relativitāti, ir vēl viens lauka teorijas piemērs. Šeit galveno lauku veido metriskais tenzors, simetrisks 2. kārtas tenzora lauks laiktelpā . Tas aizstāj Ņūtona gravitācijas likumu.

Kvantu lauki

Mūsdienās uzskata, ka kvantu mehānika varētu būt visu fizikālo parādību pamatā, tātad klasiskajai fundamentālo mijiedarbību lauku teorijai būtu jābūt izsakāmai kvantu mehānikā. Šādus rezultātus sauc par atbilstošo kvantu lauka teoriju . Piemēram, kvantējot klasisko elektrodinamiku, iegūst kvantu elektrodinamiku. Kvantu elektrodinamika, iespējams, ir zinātnes visprecīzākā teorija: eksperimentālie dati apstiprina tās prognozes ar lielāku precizitāti (ar vairāk zīmīgājiem cipariem) nekā jebkura cita teorija.^[20] Pārējās divas fundamentālas kvantu lauka teorijas ir kvantu hromodinamika un elektrovājā teorija.

Lauki krāsu lādiņu dēļ, kā kvarkos (G ir gluonu lauka tenzors). Tās ir "bezkrāsainas" kombinācijas. Augšpusē: trīs krāsas veodo bezkrāsu kombināciju. Apakšā: kvarka / antikvarka kombinācijas.^[13][14]

Kvantu hromodinamikā krāsu lauka līnijas nelielos attālumos saista gluoni, kurus lauks polarizē un orientē savu līniju virzienā. Pieaugot attālumam, šis efekts nelielā apgabalā (apmēram 1 fm tuvā kvarku apkārtnē) kļūst stiprāks, ieslogot kvarkus hadronos. Tā kā gluoni cieši sakļauj lauka līnijas kopā, tās "neizliecas" uz āru tik daudz kā elektriskais lauks starp elektriskajiem lādiņiem.^[21]

Visas trīs šīs kvantu lauka teorijas var apskatīt kā daļiņu fizikas standarta modeļa speciālgadījumus. Einšteina gravitācijas lauka teoriju — vispārīgo relativitāti — vēl nav izdevies sekmīgi kvantēt.

Tāpat kā ar klasiskajiem laukiem, arī kvantu laukus apraksta matemātiski vienādojumi. Šie vienādojumi, kas noaska kvantu lauku dabu, ir parciāli diferenciālvienādojumi (konkrēti, relativistisko viļņu vienādojumi — RVV). Par Janga-Millsa, Dīraka, Kleina-Gordona un Šrēdingera laukiem var runāt var runāt kā par atbilstošo vienādojumu atrisinājumiem. Šajos RVV var būt jāstrādā ar sarežģītiem matemātiskiem objektiem, kam piemīt eksotiskas algebriskas īpašības, piemēram, spinoriem, taču analītiskas metodes joprojām ir pielietojamas.

Piezīmes

1. Daļiņu ar masu, kura ir gana neliela, lai neradītu būtisku ietekmi uz sistēmas gravitācijas lauku, kā arī ar tādiem pārējiem fizikālajiem parametriem, kurus var neņemt vērā.
2. Daļiņa ar lādiņu ${\displaystyle q}$, kurš ir gana neliels, lai neradītu būtisku ietekmi uz sistēmas elektrisko lauku, kā arī ar tādiem pārējiem fizikālajiem parametriem, kurus var neņemt vērā.
3. Potenciāli nav viennozīmīgi definēti, tos var atrast ar precizitāti līdz konstantam saskaitāmajam, tas ir, potenciālu nulles līmeņus var izvēlēties patvaļīgi.

Atsauces

1. John Gribbin. Q is for Quantum: Particle Physics from A to Z. London : Weidenfeld & Nicolson, 1998. 138. lpp. ISBN 0-297-81752-3.
2. Richard Feynman. The Feynman Lectures on Physics Vol II. Addison Wesley Longman, 1970. ISBN 978-0-201-02115-8. A 'field' is any physical quantity which takes on different values at different points in space.
3. Ernan McMullin (2002). "The Origins of the Field Concept in Physics". Phys. Perspect. 4: 13–39. Bibcode 2002PhP.....4...13M. doi:10.1007/s00016-002-8357-5.
4. Lecture 1 | Quantum Entanglements, Part 1 (Stanford), Leonard Susskind, Stanford, Video, 2006-09-25.
5. Richard P. Feynman. The Feynman Lectures on Physics Vol I. Addison Wesley Longman, 1970.
6. Richard P. Feynman. The Feynman Lectures on Physics Vol II. Addison Wesley Longman, 1970.
7. John Archibald Wheeler. Geons, Black Holes, and Quantum Foam: A Life in Physics. London : Norton, 1998. 163. lpp.
8. Richard P. Feynman. The Feynman Lectures on Physics Vol I. Addison Wesley Longman, 1970.
9. Weinberg, Steven (1977). "The Search for Unity: Notes for a History of Quantum Field Theory". Daedalus 106: 17–35. JSTOR 20024506.
10. Christianto, Victor; Smarandache, Florentin (2015). An Economic Analogy with Maxwell Equations in Fractional Space.
11. Callaway, David J.E. (1988-09). "Triviality pursuit: Can elementary scalar particles exist?" (en). Physics Reports 167 (5): 241–320. doi:10.1016/0370-1573(88)90008-7.
12. Daniel Kleppner, Robert Kolenkow. An Introduction to Mechanics. 85. lpp.
13. C.B. Parker. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd izd.). Mc Graw Hill, 1994. ISBN 0-07-051400-3.
14. M. Mansfield, C. O’Sullivan. Understanding Physics (4th izd.). John Wiley & Sons, 2011. ISBN 978-0-47-0746370.
15. David Griffiths. Introduction to Electrodynamics (3rd izd.). 326. lpp.
16. Roald Wangsness. Electromagnetic Fields (2nd izd.). 469. lpp.
17. A. Valters, A. Apinis, M. Ogriņš, A. Danenbergs, Dz. Lūsis, A. Okmanis, J. Čudars. Fizika. Rīga : Zvaigzne, 1992. ISBN 5-405-00110-4.
18. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne. Gravitation. W.H. Freeman & Co., 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
19. I. Ciufolini, J.A. Wheeler. Gravitation and Inertia. Princeton Physics Series, 1995. ISBN 0-691-03323-4.
20. Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder. An Introduction to Quantum Fields. Westview Press, 1995. 198. lpp. ISBN 0-201-50397-2.
21. R. Resnick, R. Eisberg. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd izd.). John Wiley & Sons, 1985. 684. lpp. ISBN 978-0-471-87373-0.