Būla algebra

Matemātikā un matemātiskajā loģikā Būla algebra ir algebras apakšnozare, kurā mainīgo vērtības ir patiesumvērtības patiess un nepatiess, ko parasti atzīmē attiecīgi ar 1 un 0. Atšķirībā no elementārās algebras, kur mainīgo vērtības ir skaitļi un galvenās operācijas ir saskaitīšana un reizināšana, Būla algebrā galvenās operācijas ir konjunkcija un, ko apzīmē ar ∧, disjunkcija vai, ko apzīmē ar ∨, un negācija, ko apzīmē ar ¬.

Būla algebru 1854. gadā ieviesa Džordžs Būls savā grāmatā An Investigation of the Laws of Thought.^[1] Saskaņā ar E. V. Hantingtonu, termins "Būla algebra" pirmoreiz tika ieteikts 1913. gadā, kad to lietoja Henrijs Šefers.^[2]

Būla algebrai ir bijusi ārkārtīgi liela nozīme datorzinātnes un digitālās loģikas attīstībā. To izmanto arī kopu teorijā un statistikā.^[3]

Operācijas

Pamatoperācijas

Būla algebras pamatoperācijas ir šādas:

• un (konjunkcija), apzīmēta x∧y (reizēm x AND y vai Kxy), apmierina x∧y = 1, ja x = y = 1 un x∧y = 0 citos gadījumos.
• vai (disjunkcija), apzīmēta x∨y (reizēm x OR y vai Axy), apmierina x∨y = 0, ja x = y = 0 un x∨y = 1 citos gadījumos.
• ne (negācija), apzīmēta ¬x (reizēm NOT x, Nx vai !x), apmierina ¬x = 0, ja x = 1 un ¬x = 1, ja x = 0.

Ja patiesības vērtības 0 un 1 interpretē kā veselus skaitļus, šīs darbības var izteikt ar parastajiem aritmētikas darbību operatoriem:

x∧y = xy,

x∨y = x + y - xy,

¬x = 1 - x.

Alternatīvi x∧y, x∨y un ¬x vērtības var izteikt ar patiesumvērtību tabulu palīdzību šādi.

1. attēls. Patiesumvērtību tabulas

x y x∧y x∨y 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

x ¬x 0 1 1 0

Var pieņemt, ka tikai negācija un viena no divām operācijām ir pamatoperācija, jo šīs vienādības ļauj definēt konjunkciju kā atkarību no negācijas un disjunkcijas un otrādi:

x ∧ y = ¬(¬x ∨ ¬y)

x ∨ y = ¬(¬x ∧ ¬y)

Atsauces

1. Džordžs  Būls. An Investigation of the Laws of Thought . Prometheus Books , 2003  [1854 ]. ISBN 978-1-59102-089-9.
2. piezīme 278. lpp.: "* The name Boolean algebra (or Boolean "algebras") for the calculus originated by Boole, extended by Schröder, and perfected by Whitehead seems to have been first suggested by Sheffer, in 1913" quoted from E. V. Huntington January 1933, "NEW SETS OF INDEPENDENT POSTULATES FOR THE ALGEBRA OF LOGIC, WITH SPECIAL REFERENCE TO WHITEHEAD AND RUSSELL'S PRINCIPIA MATHEMATICA", http://www.ams.org/journals/tran/1933-035-01/S0002-9947-1933-1501684-X/S0002-9947-1933-1501684-X.pdf
3. Steven Givant, Paul Halmos. Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2009. ISBN 978-0-387-40293-2.

Ārējās saites

• How Stuff Works – Boolean Logic
• Science and Technology - Boolean Algebra Arhivēts 2013. gada 16. februārī, Wayback Machine vietnē. satur sarakstu un pieradījumus ar Būla teorēmām un likumiem.