Algebra

Algebra (arābu: اَلْجَبْرْ (‎al-gabr) — 'apvienošana') ir viena no matemātikas pamatnozarēm. Algebra ir zinātne par kopām ar operācijām, kas zināmā mērā analogas darbībām ar skaitļiem. Algebrisku sistēmu piemēri ir grupas, lauki, vektoru telpas, gredzeni, struktūras.

Vienkāršo algebru uzskata par būtisku pamatu jebkurai matemātikas pētīšanai, zinātnei vai inženierzinātnei, kā arī medicīnai un ekonomikai.

Par abstrakto algebru sauc augstāko matemātiku, to galvenokārt pētījuši profesionāli matemātiķi. Daudzi senākie darbi algebrā, kā liecina arābu izcelsmes nosaukumi, tika radīti Tuvajos Austrumos. Šos atklājumus veikuši persiešu matemātiķi, piemēram, Al-Horezmī (780—850) un Omars Haijāms (1048—1131).

Vienkāršā algebra atšķiras no aritmētikas ar to, ka tajā izmantotas abstrakcijas, piemēram, skaitļus aizstājot ar burtiem — gan nezināmos, gan izmantojot dažādas pieņemtas vērtības. Piemēram, x+2=5, burts “x” ir nezināmais, bet, izmantojot pretēju darbību, var iegūt “x” vērtību: x=5-2; x=3. Izteiksmē E=mc², apzīmējumi “E” un “m” ir mainīgie, bet apzīmējums “c” ir konstanta vērtība — gaismas ātrums vakuumā.

Algebra rada metodes, lai atrisinātu vienādojumus un izteiktu formulas, kas būtiski atvieglo matemātiskus aprēķinus.

Vārdu “algebra” izmanto arī citos veidos, piemēram, īpašā matemātisko objektu veidā abstraktajā algebrā, kur vārdu “algebra” izmanto lineārajā algebrā un topoloģijas algebrā.

Etimoloģija

Vārds “algebra” nāk no arābu valodas (لْجَبْرْ (‎al-gabr)). Vārds ienāca angļu valodā 15. gadsimtā no spāņu, itāļu vai viduslaiku latīņu valodas. Vārds “algebra” sākotnēji attiecās uz ķirurģiskām procedūrām. Pirmo reizi matemātikā šis vārds parādījās 16. gadsimtā.

Algebras saknes sniedzas līdz senajiem babiloniešiem, kuri izstrādāja moderno aritmētisko sistēmu, ar kuras palīdzību viņi varēja veikt aprēķinus algoritmiskā veidā. Babilonieši izstrādāja formulas, lai atrastu risinājumu problēmām, kuras šodien risina izmantojot lineāros vienādojumus, kvadrātvienādojumus un nenoteiktos lineāros vienādojumus. Turpretī lielākā daļa ēģiptiešu šajā laikmetā, kā arī vienu gadu tūkstoti pirms mūsu ēras Grieķijas un Ķīnas matemātikā, šādus vienādojumus risināja ar ģeometrijas metodēm.

Līdz Platona laikam, grieķu matemātiķi bija ieviesuši lielas pārmaiņas. Grieķi radīja ģeometrisko algebru, kurā termini bija apskatīti no ģeometrisko priekšmetu puses, parasti līnijas, kuras bija asociētas ar burtiem.

Diofants (3. gs.m.ē.) bija Aleksandrijas grieķu matemātiķis un autors sēriju grāmatām — “Aritmētika”. Šie teksti skaidroja, kā risināt algebriskus vienādojumus, un tajā skaidroti jēdzieni, sākot no skaitļu teorijas līdz Diofanta vienādojuma modernajam jēdzienam.

Persiešu matemātiķis Muhamads ibn Musa Al-Horezmī (780—850) sarakstīja grāmatu “Īsa pamācība rēķināšanā, izmantojot līdzsvarošanu un pabeigšanu”, kurā aprakstīja algebru kā matemātikas mācību, kas ir neatkarīga no ģeometrijas un aritmētikas.

Hellēnisma matemātiķi Hērons un Diofants, kā arī indiešu matemātiķis Brahmagupta turpināja Ēģiptes un Babilonijas tradīcijas. Piemēram, atklājot pirmo pabeigto aritmētisko risinājumu (iekļaujot nulles un negatīvo atrisinājumu) kvadrātvienādojumam, ko bija aprakstījis Brahmagupta savā grāmatā “Pareizi definēta Brahmas mācība”. Vēlāk persiešu un arābu matemātiķi attīstīja algebriskās metodes daudz augstākā pakāpē.

Al-Horezmī ieguldījums bija nozīmīgs. Viņš atrisināja lineāros un kvadrātvienādojumus bez algebriskiem simboliem, negatīviem skaitļiem vai nulles, tādējādi viņam bija jāatšķir vairāki vienādojuma veidi.

Kontekstā, kur algebra ir identificēta ar vienādojumu teoriju, grieķu matemātiķis Diofants bija labi zināms kā “algebras tēvs”, taču pēdējā laikā notiek diskusijas par to, vai Al-Horezmī, kurš atklāja algebras mācību, nav pelnījis šo titulu. Tie, kuri atbalsta Diofantu, uzskata, ka algebru atklāja aritmētika, kura ir mazliet elementārāka nekā algebra. Toties tie, kuri atbalsta Al-Horezmī, norāda, ka viņš ieviesa samazināšanas un saīsināšanas metodi. Termins “algebra” sākotnēji attiecās uz to, ka viņš deva izsmeļošu kvadrātvienādojuma risināšanas izskaidrojumu, izmantojot ģeometriskos pierādījumus, vienlaikus uztverot algebru kā neatkarīgu mācību.

Persiešu matemātiķis Omars Haijāms, kuru uzskata par algebriskās ģeometrijas dibinātāju, atklāja vispārīgo kubisko vienādojumu ģeometrisko risinājumu. Viņa grāmata “Traktāts par algebras problēmu demonstrēšanu” (1070), kura ietver algebras principus, ir daļa no persiešu matemātiķu atklājumiem, ar kuriem tika iepazīstināta Eiropa. Vēl cits persiešu matemātiķis Šarafs Al-Dīns Al-Tusī radīja algebriskus un skaitliskus risinājumus dažādiem kubiskiem vienādojumiem. Viņš arī uzlaboja funkcijas jēdzienu. Indiešu matemātiķi Mahavira un Baskara II, persiešu matemātiķis Al-Harajī un ķīniešu matemātiķis Žu Šijie risināja dažādus trešās kārtas, ceturtās kārtas un augstākas kārtas polinomu vienādojumus, izmantojot skaitliskās metodes.

13. gadsimtā - pašā atmodas sākumā - Fibonači pārstāvēja Eiropas algebru, parādot trešās kārtas vienādojuma risināšanu. Tā kā islāma pasaule samazinājās, eiropiešu pasaule auga, tādēļ algebra Eiropā turpināja attīstīties.

Algebras vēsture

Itāļu matemātiķis Džerolamo Kordano publicēja risinājumus vienādojumiem savā grāmatā “Par smalkām lietām”, 1545.gadā. 16. gadsimta beigās Fransuā Vjeta darbs par jauno algebru bija svarīgs solis pretī modernajai algebrai.

1637. gadā, Renē Dekarts publicēja grāmatu “Ģeometrija” ieviešot analizējošo ģeometriju un iepazīstinot ar moderno algebru.

Vēl viens galvenais notikums turpmākajā algebras attīstībā bija vispārējā algebriskā kvadrātvienadojuma un piektās pakāpes vienādojuma risināšanas attīstība 16. gadsimta vidū.

Japāņu matemātiķis Seki Kāva attīstīja noteicēja ideju 17. gadsimtā, bet 10 gadus vēlāk neatkarīgi Gotfrīds Leibnics izmantoja matricas, lai atrisinātu sinhronus lineāros vienādojumus.

Gabriels Krāmers arī veica darbus saistībā ar matricām un noteicējiem 18. gadsimtā.

Jozefs — Luiss Langranžs pētīja permutācijas savā zinātniskajā darbā 1770. gadā. Lai risinātu algebriskus vienādojumus, viņš radīja Langranža teorēmu.

Pauls Rufīnī bija pirmais, kurš radīja permutācijas grupas teorijai un tāpat kā viņa priekšteči, viņš meklēja risinājumus algebriskiem vienādojumiem.

Abstraktā algebra tika ieviesta 19. gadsimtā, atvasināta no vienādojumu risināšanas, sākotnēji pievēršot uzmanību Galuā teorijai.

Georgs Pīkots bija aksonometriskās domāšanas dibinātājs aritmētikā un algebrā.

Augusts De Morgans atklāja saistību algebru.

Josiahs Vilards Gibs apskatīja vektoru algebru trīs dimensiju telpā un Arturs Keilijs radīja algebru matricas.

Algebra kā viena matemātikas nozare

Algebra iesākās ar aprēķināšanu, kur skaitļus aizstāj ar burtiem. Tādējādi izveidojot visparīgos vienādojumus, kā piemēram, kvadrātvienādojumu: ax²+bx+c=0

a, b, c var būt jebkurš skaitlis, izņemot 0, lai apmierinātu vienādojumu un varētu aprēķināt x vērtības jeb vienādojuma saknes.

Vēsturiskā un pašreizējā mācīšanā, algebras mācība sākas ar vienādojumu risināšanu. Tādi vispārīgie jautājumi kā:

• Vai vienādojumam ir risinājums?
• Cik risinājumi ir vienādojumam?
• Ko var pateikt par risināšanas veidu?.

Šie jautājumi noved līdz ideju formai, struktūrai un simetrijai. Šis rezultāts atļauj algebrai paplašināties arī bez skaitliska priekšmeta — kā vektori, matricas un polinomi. Šīs skaitliskās struktūras īpašības tika nodalītas, lai noteiktu algebriskas uzbūves, tādas kā grupas, riņķi un laukumi.

Pirms 16.gadsimta, matemātiķi tika iedalīti tikai divās apakšnozarēs — aritmētiskajā un ģeometriskajā.

Mūsdienās algebra ir izaugusi un attīstījusies tā, ka tajā ietilpst daudzas matemātikas nozares.

Ārējās saites

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Algebra.
• Latvijas Nacionālās enciklopēdijas šķirklis
• Encyclopædia Britannica raksts (angliski)
• Mūsdienu Ukrainas enciklopēdijas raksts (ukrainiski)
• Krievijas Lielās enciklopēdijas raksts (krieviski)
• Encyclopædia Universalis raksts (franciski)
• Stanfordas Filozofijas enciklopēdijas raksts (angliski)
• Enciklopēdijas Krugosvet raksts (krieviski)