Trijstūris

Trijstūris ir plaknes figūra, kuru norobežo trīs nogriežņi, kurus sauc par malām. Trijstūrim ir trīs malas un trīs stūri.

Dažādi trijstūri

Vienādmalu trijstūris

Vienādsānu šaurleņķu trijstūris

Taisnleņķa trijstūris

Dažādmalu platleņķa trijstūris

Šis raksts ir par ģeometrisku figūru. Par mūzikas instrumentu skatīt rakstu Trīsstūris (instruments).

Īpašības

• Jebkura trijstūra visu leņķu summa ir 180°;
• Jebkuru divu malu garumu summa ir lielāka par trešās malas garumu;
• Jebkurš trijstūris ir izliekta figūra;
• Jebkuram trijstūrim var apvilkt un ievilkt riņķa līniju;
• Apvilktās riņķa līnijas centrs atrodas malu vidusperpendikulu krustpunktā;
• Ievilktās riņķa līnijas centrs atrodas bisektrišu krustpunktā;
• Trijstūra smaguma centrs atrodas mediānu krustpunktā;

Trijstūru iedalījums

Trijstūru iedalījums pēc leņķiem

Trijstūrus iedala pēc leņķiem — pastāv šaurleņķa (visi leņķi ir mazāki par 90°), taisnleņķa (viens leņķis ir 90° liels) un platleņķa trijstūri (viens leņķis ir lielāks nekā 90°).

Trijstūru iedalījums pēc malām

Trijstūrus var iedalīt arī pēc malām — pastāv dažādmalu (visas malas ir dažāda garuma), vienādsānu (divas malas ir vienāda garuma) un vienādmalu jeb regulārs trijstūris (visas malas ir vienāda garuma).

Formulas

Trijstūriem var aprēķināt vērtības malām, leņķiem, mediānām, bisektrisēm, augstumiem, apvilkto un ievilkto riņķu rādiusiem, kur formulas papildus šķiro pēc iedalītiem trijstūriem. Formulas, kuras spēkā visos trijstūros:

• ${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,2R\!}$
• ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$
• ${\displaystyle m_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}$^{[nepieciešama atsauce]}
• ${\displaystyle \ d^{2}=R^{2}-2Rr}$^{[nepieciešama atsauce]}

kur a, b un c — trijstūra malas, A, B, C — leņķi pret attiecīgajām malām a, b, c, ${\displaystyle \gamma }$ — leņķis starp malām a un b, ${\displaystyle m_{c}}$ — mediānas garums, d — attālums starp ievilktās un apvilktās riņķa līnijas centru, R — apvilktas riņķa līnijas rādiuss, r — ievilktas riņķa līnijas rādiuss;

Regulāriem trijstūriem

• ${\displaystyle h_{c}=m_{c}=l_{c}={\frac {a}{2}}{\sqrt {3}}=R+r}$
• ${\displaystyle R={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}}$
• ${\displaystyle r={\frac {a}{6}}{\sqrt {3}}}$
• ${\displaystyle P=3\cdot a}$

kur ${\displaystyle h_{c}}$ — augstums, ${\displaystyle m_{c}}$ — mediānas garums, ${\displaystyle l_{c}}$ — bisektrises garums, a — regulāra trijstūra malas garums, R — apvilktas riņķa līnijas rādiuss, r — ievilktas riņķa līnijas rādiuss, d — attālums starp ievilktās un apvilktās riņķa līnijas centru, ${\displaystyle m_{c}}$ — mediānas garums, h — trijstūra augstums, P — trijstūra perimetrs^[1];

Laukums

Trijstūru laukumu aprēķināšanas formulas iedalās visiem trijstūriem derīgās formulās un tādās formulās, kas derīgas tikai atsevišķiem trijstūru veidiem, lai tos varētu aprēķināt ātrāk.^[2]

Formulas visiem trijstūriem

• ${\displaystyle S=ah_{a}/2}$
• ${\displaystyle S=1/2*ab*sin\gamma }$
• ${\displaystyle S=abc/4R}$
• ${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$
• ${\displaystyle S=p*r}$

kur a, b, c — trijstūra malas, ${\displaystyle h_{a}}$ — augstums pret malu, ${\displaystyle sin\gamma }$ - sinuss starp malām a, b, R — apvilktās riņķa līnijas rādiuss, p — pusperimets, r — ievilktās riņķa līnijas rādiuss;

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}[x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})]}$

kur ${\displaystyle (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})\,}$ — trijstūra virsotņu koordinātas. Šajā formulā jāievēro tas, ka jāņem laukuma modulis, citādāk var gadīties negatīvs laukums, bet kurš ir skalāri pareizs.

Taisnleņķa trijstūriem

${\displaystyle S=ab/2}$

kur a,b — katetes.

Regulāram trijstūrim

${\displaystyle S={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {3}}}$

kur a — jebkura trijstūra mala.

Skatīt arī

• Trijstūru vienādības pazīmes
• Trijstūra skaitlis
• Ciklopropāns
• Četrstūris

Ārējās saites

• Mathworld.com ieraksts (angliski)

Atsauces

1. Dainis Kriķis. Diferencēti uzdevumi matemātikā 2.daļa. Ģeometrija. Zvaigzne ABC, 1995.gads. 153–157. lpp. ISBN 9984-04-115-8.
2. «Par matemātikas centralizētā eksāmena formulu lapu». Skatīts: 30.01.2023.