Binomiālais sadalījums

Binomiālais sadalījums varbūtību teorijā ir varbūtību sadalījums, kurš uzdod jā/nē jautājumus un skaita labvēlīgo gadījumu skaitu un nelabvēlīgo. Tas ir atkarīgs no parametriem p un n, kur p - labvēlīga iznākuma varbūtība; n - gadījumu skaits; kā arī lielums q - nelabvēlīgā iznākuma varbūtība (q = 1 - p). Vēl bez jā/nē iznākumu dabas, katram mēģinājumam jābūt neatkarīgam no iepriekšējiem mēģinājumiem un varbūtībām jābūt nemainīgām.^[1]

Binomiālais sadalījums

Diskrētā blīvuma funkcija Binomiālā sadalījuma grafiks izskatās pēc diskrēta (lēcienveida) normālā sadalījuma
Sadalījuma funkcija Varbūtību sadalījuma funkcija F(x) izmainās diskrētās vērtībās, tā ir lēcienveidā
Apzīmējums	${\displaystyle B(n,p)}$
Parametri	${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$ – mēģinājumu skaits ${\displaystyle p\in [0,1]}$ – labvēlīga notikuma varbūtība katrā mēģinājumā ${\displaystyle q=1-p}$
Definēts	${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,n\}}$ – labvēlīgo gadījumu skaits
Blīvuma funkcija	${\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}}$
Sadalījuma funkcija	${\displaystyle I_{q}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )}$ (regularizēta nepilnīgā Bēta funkcija)
Vidējā vērtība	${\displaystyle np}$
Mediāna	${\displaystyle \lfloor np\rfloor }$ vai ${\displaystyle \lceil np\rceil }$
Moda	${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$ vai ${\displaystyle \lceil (n+1)p\rceil -1}$
Dispersija	${\displaystyle npq=np(1-p)}$
Asimetrijas koeficients	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}}$
Ekscesa koeficients	${\displaystyle {\frac {1-6pq}{npq}}}$
Momentu ģenerējošā funkcija	${\displaystyle (q+pe^{t})^{n}}$
Raksturīgā funkcija	${\displaystyle (q+pe^{it})^{n}}$
Varbūtību ģenerējošā funkcija	${\displaystyle G(z)=[q+pz]^{n}}$
Fišera informācija	${\displaystyle g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}}$ (pie fiksēta ${\displaystyle n}$)

Bernulli formula

Ar Bernulli formulu iespējams noteikt varbūtību tam, ka labvēlīgs notikums notiks m reizes. Formulu pieraksta šādi:

${\displaystyle P_{n}(k)=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}}$, kur

${\displaystyle P_{n}(k)}$ - varbūtība labvēlīgam iznākumam notikt ${\displaystyle k}$ reizes no visām ${\displaystyle n}$ reizēm; ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ - kombinācijas, kā izvēlēties ${\displaystyle k}$ elementus no ${\displaystyle n}$; ${\displaystyle p^{k}}$ - labvēlīgā varbūtība celta veiksmīgo reižu pakāpē; ${\displaystyle q^{n-k}}$ - nelabvēlīgā varbūtība (${\displaystyle q=1-p}$) celta neveiksmīgo reižu pakāpē.^[2]

Visu varbūtību summa būs 1: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p_{i}=1}$.

Piemērs

Varbūtība, ka diena būs apmākusies, ir 0,45. Kāda ir varbūtība, ka nedēļā būs 3 apmākušās dienas?

Izmantojot Bernulli formulu:

Animācija visu n = 4 situāciju kombinācijām: ${\displaystyle C_{4}^{0}=1;C_{4}^{1}=4;C_{4}^{2}=6;C_{4}^{3}=4;C_{4}^{4}=1}$

${\displaystyle P_{7}(3)=35\cdot 0,45^{3}\cdot 0,55^{4}=0,292...}$

Īpašības

Binomiālā sadalījuma sagaidāmā vērtība ir ${\displaystyle E[X]=np}$. Šo iegūst, jo gadījuma lielums var ieņemt vērtības {0; 1}, atkarībā no tā, vai gadījums ir labvēlīgs vai nav. No sagaidāmās vērtības linearitātes īpašības un fakta, ka varbūtība p ir nemainīga: ${\displaystyle E[X]=E[X1+...+Xn]=E[X1]+...+E[Xn]=p+...+p=np}$

Binomiālā sadalījuma dispersija ir: ${\displaystyle Var[X]=npq=np(1-p)}$

Skatīt arī

• Kombinatorika
• Puasona sadalījums

Atsauces

1. «Binominālais sadalījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.». www.uzdevumi.lv (latviešu). Skatīts: 2023-09-21.
2. «Gadījuma lielumi. Diskrētu gadījuma lielumu binomiālais un Puasona sadalījums».