Kāpināšana

Kāpināšana ir matemātiska operācija, kas atbilst lieluma atkārtotai reizināšanai ar sevi. Kāpināšanu parasti pieraksta kā aⁿ, kur a ir kāpināmais, n ir kāpinātājs, bet iegūtais rezultāts — pakāpe. Izteiksmi aⁿ lasa kā "a pakāpē n".

Pakāpes ar veselu kāpinātāju

Pozitīvs kāpinātājs

Ja kāpinātājs n ir naturāls skaitlis (vesels, pozitīvs skaitlis), tad izteiksme aⁿ atbilst skaitļa a atkārtotai reizināšanai ar sevi n reižu:

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n{\text{ reizes}}}.}$

Tas ir analoģiski tam, kā reizinājums a·n atbilst skaitļa a saskaitīšanai ar sevi n reižu:

${\displaystyle a\cdot n=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n{\text{ reizes}}}.}$

Mazām pakāpēm n ir atvēlēti īpaši nosaukumi:

• Ja n = 2, tad izteiksmi a² = a·a sauc par lieluma ${\displaystyle a}$ kvadrātu, jo pēc šādas formulas aprēķina kvadrāta laukumu;
• Ja n = 3, tad izteiksmi a³ = a·a·a sauc par lieluma a kubu, jo pēc šādas formulas aprēķina kuba tilpumu.

Negatīvs kāpinātājs

Kāpinot doto lielumu pakāpē −1, iegūst tā apgriezto lielumu:

${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}.}$

Vispārīgā gadījumā, lai aprēķinātu dotā lieluma negatīvu pakāpi, skaitli 1 dala ar atbilstošu lieluma pozitīvo pakāpi:

${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}.}$

Kāpināšana mazās pakāpēs

n	an
0	a0 = 1
1	a1 = a
2	a2 = a·a
3	a3 = a·a·a

Kāpinātāji 0 un 1

Lieluma a kāpināšana pakāpē 1 atbilst reizinājumam, kurā a ietilpst tieši vienu reizi, tāpēc rezultāts ir vienāds ar a:

${\displaystyle a^{1}=a.\,}$

Ja jebkuru skaitli, kas atšķirīgs no nulles, kāpina pakāpē 0, tad iegūst skaitli 1:

${\displaystyle a^{0}=1.\,}$

Savukārt nulli nulltajā pakāpē nevar kāpināt (izteiksme 0⁰ ir nenoteiktība).

Pakāpes ar daļveida kāpinātāju

Kāpinātājs var būt arī racionāls skaitlis, piemēram, izteiksmi

${\displaystyle a^{1/2}={\sqrt {a}}}$

sauc par kvadrātsakni no a. Kāpināšana pakāpē 1/n, kur n ir naturāls skaitlis, atbilst n-tās pakāpes saknes vilkšanai:

${\displaystyle a^{1/n}={\sqrt[{n}]{a}}.}$

Vispārīgā gadījumā, ja pozitīvu skaitli a kāpina racionālā pakāpē m/n, kur m ir vesels skaitlis un n ir vesels, pozitīvs skaitlis, tad iegūst

${\displaystyle a^{m/n}=\left(a^{m}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}.}$

Ja a ir negatīvs, tad šo formulu var lietot tikai tad, ja m ir pāra skaitlis.

Pakāpju īpašības

Reizinot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju summu:

${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.}$

Līdzīgā kārtā, dalot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju starpību:

${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}.}$

Kāpināšana ir distributīva pār reizināšanu:

${\displaystyle (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}.}$

Atkārtotu kāpināšanu var aizstāt ar kāpināšanu pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju reizinājumu:

${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n},}$

taču kāpināšana nav asociatīva:

${\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}.}$

Apgrieztā darbība

Tāpat kā saskaitīšanai pretējā darbība ir atņemšana un reizināšanai pretējā darbība ir dalīšana, kāpināšanai pretējā darbība ir logaritmēšana (ja grib atgūt kāpinātāju) un saknes vilkšana (ja grib atgūt kāpināmo).

Kāpināšanas tabula

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2187	6561	19 683	59 049
4	16	64	256	1024	4096	16 384	65 536	262 144	1 048 576
5	25	125	625	3125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625
6	36	216	1296	7776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249
8	64	512	4096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824
9	81	729	6561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401
10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000

Skatīt arī

• Kvadrātsakne
• Kubsakne
• Logaritms
• Polinoms
• Saknes vilkšana

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Exponentiation, MathWorld.
• Exponential Arhivēts 2010. gada 15. jūnijā, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
• Eric W. Weisstein, Complex Exponentiation, MathWorld.
• Introducing 0th power Arhivēts 2010. gada 20. jūnijā, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
• Exponentiation, answermath.com.
• Exponents Calculator (pakāpju kalkulators).