Geometrinė progresija – skaičiųseka, kurioje kiekvienas narys pradedant antruoju gaunamas padauginus ankstesnįjį iš pastovaus skaičiaus (koeficiento, dar vadinamo geometrinės progresijos vardikliu), kuris nėra lygus nuliui.[1]
Skirtingai nei aritmetinės progresijos, geometrinės progresijos augimas arba mažėjimas yra eksponentinis, o ne tiesinis.
Skaičių seka vadinama geometrine progresija, jei tam tikram skaičiui tenkinama ši sąlyga:
Skaičius vadinamas geometrinės sekos vardikliu .
Jeigu yra žinomas pirmasis progresijos narys a=a1 ir vardiklis q, tada n-asis narys gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:
Priklausomai nuo vardiklio reikšmės, sekos riba skiriasi:
Jei 0 < q < 1, seka artėja į 0
Jei q = 1, sekos riba yra a (visi sekos nariai yra lygūs)
Jei 0 > q > −1, seka artėja į 0. Šiuo atveju yra du posekiai (teigiamų ir neigiamų narių), artėjantys į 0
Jei q = −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba a, kito −a
Jei q < −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba yra (begalybė), kito −
Geometrinė progresija, kurios vardiklio modulis q yra mažesnis už vienetą vadinama nykstamąja geometrine progresija.[2]
Seka yra geometrinė seka su vardikliu
Seka yra geometrinė seka su vardikliu
Seka yra geometrinė seka su vardikliu
Geometrinės progresijos charakteringoji savybė – seka su teigiamaisiais nariais yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai bet kuris jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai progresija yra baigtinė), yra lygus gretimų narių geometriniam vidurkiui.[3]
Geometrinės progresijos baigtinio n narių skaičiaus suma yra:
.
Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma (|q|<1!) yra:
.
Vienintelis žinomas geometrinės progresijos įrašas iš Babilono matematikos laikų yra įspaustas molio lentelėje, šios progresijos pagrindas – 3, o vardiklis 1/2.[4]
EuklidoPradmenų (apie 300 m. pr. m. e.) VIII ir IX knygose yra analizuojamos geometrinės progresijos ir pateikiamos jų savybės.[5]
Friberg, Jöran (2007). „MS 3047: An Old Sumerian Metro-Mathematical Table Text“. In Friberg, Jöran (red.). A remarkable collection of Babylonian mathematical texts. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. New York: Springer. pp.150–153. doi:10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN978-0-387-34543-7. MR2333050.
Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]leid.). New York: Dover Publications.
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.