Eksponentinė funkcija

Eksponentinė funkcija arba eksponentė – matematinė funkcija, žymima exp(x), kai funkcijos argumentas yra x. Taip pat funkciją galima žymėti e^x, kur e yra matematinė konstanta, kuri yra natūrinio logaritmo pagrindas (apytiksliai lygus 2.72). Funkcijos argumentas gali būti bet koks realusis ar kompleksinis skaičius, ar net visai kitoks matematinis objektas.

Eksponentinė funkcija didėja lėtai neigiamose x reikšmėse ir greitai teigiamose. Kai x = 0, eksponentinės funkcijos reikšmė yra 1.

Dažnai eksponentinė funkcija yra vadinama rodikline funkcija,^[1] tokiu atveju bendrąja prasme yra nusakomos b^x formos funkcijos.

Su eksponentine funkcija yra susiduriama nagrinėjant įvarius gamtoje vykstančius procesus.^[2]

Savybės

Kadangi eksponentinė funkcija naudoja kėlimą laipsniu, tai jai galioja tos pačios taisyklės:

${\displaystyle e^{x+y}=\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)=e^{x}e^{y}}$.

Remiantis taisykle ${\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}}$.

Natūrinis logaritmas yra eksponentinės funkcijos atvirkštinė funkcija:

${\displaystyle \ln(x)=\log _{e}(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}$

Eksponentinės funkcijos diferencialas yra lygus pačiai eksponentinei funkcijai:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}$

Tai reiškia, kad eksponentinės funkcijos nuolydis yra pati eksponentinė funkcija, todėl jos krypties koeficientas yra 1, kai ${\displaystyle x=0}$.

Eksponentinės funkcijos grafikas

Jei funkcijos argumentas yra realusis skaičius, eksponentė visada įgauna teigiamas reikšmes. Tai reiškia, kad visas funkcijos grafikas eina virš x ašies, niekada jos nepaliesdamas, bet be galo arti priartėdamas. Todėl x ašis vadinama horizontaliąja funkcijos asimptote.

Eksponentinės funkcijos apibrėžimai

Dažniausiai naudojami eksponentinės funkcijos e^x apibrėžimai realiems x:

1. e^x gali būti apibrėžiamas riba

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

2. e^x gali būti apibrėžiamas begaline suma

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

3. e^x gali būti apibrėžiamas unikaliu skaičiumi y > 0, tokiu kad

${\displaystyle \int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.}$

4. e^x gali būti apibrėžiamas kaip unikalus sprendinys diferencialinės lygties

${\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1.}$

Šaltiniai

1. eksponentinė funkcija. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2023-11-07).
2. Vidmantas Pekarskas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. 1 dalis. – Kaunas: Technologija, 2005. – 64 p. ISBN 9986-13-416-1