Riba (matematika)

Riba – pamatinė matematinės analizės sąvoka, kuri intuityviai suvokiama kaip reikšmė, prie kurios matematinė funkcija „artėja“, kai funkcijos argumentas artėja prie tam tikros reikšmės.^[1] Ribos yra plačiai naudojamos daugelyje matematikos sričių, įskaitant integralinį ir diferencialinį skaičiavimą, apibrėžiant funkcijos tolydumą, išvestines ir integralus.

Ribos formulių pavidalu dažnai yra rašomos taip:

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

skaitoma taip: „funkcijos f, kurios argumentas x artėja prie c, riba yra lygi L“. Čia „lim“ reiškia lotynų kalbos žodį limit (ribą).^[2] Faktas, jog funkcija f(x) artėja prie ribos L kai x artėja prie c yra vaizduojamas rodykle į dešinę pusę (→):

${\displaystyle f(x)\to L,\ {\text{ kai }}x\to c.}$

Funkcijos riba

Kai taškas x nuo c yra ne toliau nei per δ, reikšmė f(x) nutolusi nuo L ne daugiau nei per ε.

Sakykime f yra realias reikšmes įgyjanti funkcija, o ${\displaystyle c}$ yra realusis skaičius. Intuityviai kalbant, užrašas

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

reiškia, kad f(x) galima priartinti kaip norima arti L, priartinant x prie c.^[3] Šiuo atveju pastarąją formulę galima skaityti „funkcijos f riba, kai x artėja prie c, yra L“. Taip pat sakoma kad „funkcijos f riba taške c yra L“.

Matematikas Ogiuestenas-Lui Koši (Augustin-Louis Cauchy) 1821 metais,^[4] o vėliau ir matematikas Karlas Vaierštrasas (Karl Weierstrass), pateikė griežtą ribos apibrėžimą, kuris dabar kartais vadinamas (ε, δ) ribos apibrėžimu: pagal šį apibrėžimą, ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ reiškia, kad kiekvienam teigiamam skaičiui δ egzistuoja teigiamas skaičius ε, kad visiems x tenkinantiems ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ galioja |f(x) − L| < ε.

Apibrėžime raidė ε (mažoji graikų alfabeto raidė epsilon) žymi bet kokį mažą teigiamą skaičių, taigi „f(x) kaip norima priartėja prie L“ reiškia, kad f(x) galiausiai patenka į intervalą (L − ε, L + ε), ką taip pat galima užrašyti naudojant absoliučios reikšmės ženklą kaip |f(x) − L| < ε.^[4] Frazė „kai x artėja prie c“ nurodo, kad turimos omenyje kintamojo x reikšmės, nutolusios nuo skaičiaus c mažesniu atstumu nei tam tikras teigiamas skaičius δ (mažoji graikų alfabeto raidė delta) – tai yra, kai x priklauso arba (c − δ, c) arba (c, c + δ), ką kitaip galime užrašyti ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$. Iš pirmosios nelygybės išplaukia, jog ${\displaystyle x\neq c}$.^[4]

Ši funkcija taške ${\displaystyle c=-4}$ nėra apibrėžta, tačiau turi ribą, +∞ arba -∞, priklausomai nuo to, iš kurios pusės artėjama. Funkcijos riba artėjant į bet kurio ženklo begalybę lygi 4.

Iš ribos egzistavimo neišplaukia, jog f(c)=L. Funkcija netgi neturi būti apibrėžta taške c.

Visiems x > S, reikšmė f(x) nutolusi nuo L atstumu ε.

Aukščiau nurodytas apibrėžimas turi prasmę, kai c yra baigtinis skaičius, tačiau ribą galima apibrėžti ir kai c lygus +∞ ar -∞. Šiuo atveju ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=L}$ reiškia, kad kiekvienam teigiamam skaičiui δ egzistuoja teigiamas („didelis“) skaičius S, kad visiems x tenkinantiems ${\displaystyle x>S}$ galioja |f(x) − L| < ε (analogiškai ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L}$, jei |f(x) − L| < ε galioja visiems x tenkinantiems ${\displaystyle x<-S}$).

Verta pastebėti, kad ribos apibrėžimas begaliniuose taškuose nėra iš esmės kitoks, kadangi natūrali baigtinio skaičiaus c aplinka yra intervalų (c − δ, c) ir (c, c + δ) sąjunga, o begalybės +∞ aplinka yra intervalas pavidalo (S, +∞) (bei begalybės -∞ aplinka yra intervalas pavidalo (-∞, S). Šis pastebėjimas leidžia natūraliai pratęsti ribos sąvoką funkcijoms apibrėžtoms topologinėse erdvėse, negriežtai šnekant, aibėse, kuriose apibrėžta aplinkų struktūra.

Šaltiniai

1. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th leid.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
2. Udo Quak. Kaip suprasti matematiką. Teminis žinynas. – Kaunas: Šviesa, 2003. – 99 p. ISBN 5-430-03555-6
3. Weisstein, Eric W. „Epsilon-Delta Definition“. mathworld.wolfram.com (anglų). Nuoroda tikrinta 2020-08-18.
4. Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth leid.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.