Distributio normalis

Distributio normalis sive distributio Gaussiana est distributio probabilistica continua et symmetros, cui congruit densitas probabilistica ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+},\ x\mapsto f(x),}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right]^{2}\right),}$

Densitas distributionis normalis (curva campanae forma Gaussiana) et deviatio canonica. Color caeruleus opacus congruit erroribus a valore medio exspectato μ intra unam deviationem canonicam σ, probabilitate 68.3 %; caeruleus opacus plus caeruleus medianus, erroribus intra duas deviationes canonicas, probabilitate 95.4%; caeruleus opacus plus medianus plus clarus, erroribus intra tres deviationes, probabilitate 99.7 %.

ubi ${\displaystyle \,\mu }$ est valor medius exspectatus huius distributionis et ${\displaystyle \,\sigma }$ deviatio canonica. Haec densitas, ob suam campanae similem formam, saepe etiam dicitur curva campanae forma Gaussiana.

Cum ${\displaystyle \,\sigma ^{2}}$ deviationem canonicam quadratam designat, quae variantia quoque appellatur; modo mathematico haec distributio etiam symbolo ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ describitur. Variabile fortuitum ${\displaystyle \,X}$ sic distributum deinde repraesentatur ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).}$

Distributio normalis canonica et usus eius ad functionem distributivam calculandam

Distributio normalis canonica dicitur distributio cuius valor medius exspectatus est 0 cuiusque deviatio canonica est 1. Densitas probabilistica huius distributionis est

${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}.}$

Cui congruit functio distributiva ${\displaystyle \Phi \colon \mathbb {R} \to [0,1],\ x\mapsto \Phi (x),}$

${\displaystyle \Phi (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\varphi (t)\,\mathrm {d} t,}$

cuius valores in multis tabellis statisticis inspici possunt.

In parametrorum ${\displaystyle \,\mu }$ et ${\displaystyle \,\sigma }$ quorumlibet casu, quaequam functio distributiva normalis ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to [0,1],\ x\mapsto F(x)}$ ad eam canonicam ${\displaystyle \,\Phi }$ reduci potest per formulam

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

Theorema limitis centralis

Distributio normalis est maximi momenti in mathematica ob Theorema limitis centralis, quod dicit ad distributionem normalem tendere omnes distributiones de rebus quae quantitates independentes fortuitas summant vel quae earum valores medios aestimant, si conditiones certae, quae variantias pertinent, valent. Cum numeri elementi conlati in summa sunt maiores, distributio normalis accuratius approximat.

Proprietates parametrorum

Parametrum ${\displaystyle \,\mu }$ designat centrum distributionis normalis. Densitas distributionis probabilistica duo puncta inflexionis ad ${\displaystyle \mu \pm \sigma }$ habet.

Ad parametra aestimanda

Parametra ${\displaystyle \,\mu }$ et ${\displaystyle \,\sigma ^{2}}$ valore medio empirico et variantia empirica efficienter aestimantur. Hi valores empirici ex datis selectionis fortuitae calculari solent.

Exemplum historicum: Carolus Fridericus Gauss in angulos metiendo versatus est, quod in pristina scida pecuniae pretio decem marcarum Germanicarum videri potest. Mensiones erroribus subiectae erant, ut Gauss valorem medium plurium mensionum eiusdem anguli calcularet. Ad excusandum valore medio usum errores normaliter distributos esse obtinuit, quia sub hac distributione valorem medium esse aestimatorem efficientem scivit. Haec adsumptio etiam hodie in multis analysibus statisticis facta est.

Curva quae distributionem normalem describit etiam curva errorum vocatur.

Functio momenta generans et momenta centralia

Functio momenta generans distributionis normalis est ${\displaystyle M_{X}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+},\ t\mapsto M_{X}(t),}$:

${\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} (\operatorname {e} ^{tX})=\operatorname {e} ^{\mu t+\sigma ^{2}t^{2}/2},}$

unde parametro ${\displaystyle \,\mu =0}$ haec momenta centralia ordinis ${\displaystyle \,k\in \mathbb {N} }$ consequuntur:

${\displaystyle \mu _{k}=0,~~\mathrm {si~} k\mathrm {~est~impar} ,}$

${\displaystyle \mu _{k}={\frac {k!\cdot \sigma ^{k}}{(k/2)!\cdot 2^{k/2}}},~~\mathrm {si~} k\mathrm {~est~par} .}$

Mensurae momentis centralibus fundatae

Valor medius exspectatus ${\displaystyle \,\mu }$ est primum momentum: ${\displaystyle \,m_{1}=\mu }$; hoc non est momentum centrale; secundum momentum centrale est ${\displaystyle \,\mu _{2}=\sigma ^{2}}$, i.e. variantia.

Obliquitas distributionis normalis est

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\mu _{2}^{3/2}}}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}=0}$

propter symmetriam et exsistentiam tertii momenti.

Distributionis normalis mensurae canonicae ad fornicem et excessum describendum sunt:

• Fractio momentorum centralium (antea Graece kurtosis appellata): ${\displaystyle \beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}=3;}$
• Excessus (nunc Graece etiam kurtosis appellatur): ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma _{\,}^{4}}}-3=0;}$
• Fornix (Anglice: arch^[1]): ${\displaystyle \alpha _{S}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-1\right)=1.}$

Postremae duae mensurae distributioni normali sic aptatae sunt, ut valores canonicos 0 et 1 habeant. Postrema mensura, fornix, rationabilior est, quia potentiae in mensura quarti momenti pares sunt, ut valores negativos adsumere non possint. Valores excessus, ${\displaystyle \,\gamma _{2}}$, iacent in ${\displaystyle [-2,\infty )}$, contra valores fornicis, ${\displaystyle \,\alpha _{S}}$, in ${\displaystyle [0,\infty )}$ iacent.

Nexus interni

• Carolus Fridericus Gauss
• Distributio symmetros
• Fornix (statistica)
• Methodus quadratorum minimorum

Notae

1. M. Bachmaier et V. Guiard, "An alternative and generalized measure for the kurtosis and its advantages," Statistical Papers 41 (2000), pp. 37–52. Berolini, Heidelbergae, Novi Eboraci: Springer.