Derivativum

Derivativum est quantitas mathematica quae cuiusdam functionis ${\displaystyle f}$ variationem indicat prope locum ${\displaystyle x}$ amplitudinemque huius variationis: si ${\displaystyle f}$ prope ${\displaystyle x}$ crescit, derivativum positivum est, negativum si imminutur. Cum derivativum ab ${\displaystyle x}$ definiatur, ipse functio est quae ${\displaystyle f'}$ dicitur (voce 'f prima') et a functione ${\displaystyle f}$ derivatur ut clivum lineae tangentis curvae ${\displaystyle y=f(x)}$ loco ${\displaystyle x}$ det: si ${\displaystyle f'(x)}$ magna est, functio ${\displaystyle f}$ valde crescit cum clivum lineae tangentis magnum sit (cf. imaginem).

Haec functio ${\displaystyle f}$ imminutur usque ad minimum, tum crescit usque ad maximum, postremo rursus imminutur: derivatum eius ${\displaystyle f'}$ igitur, qui clivum lineae tangentis indicat, negativum deinde positivum denique negativum est.

Theorema fundamentale calculi dicit derivativum et integrale processus inversos esse.

Facile exemplum cum indico variationis

Numerus millium incolarum Guianae (1960-2017).

Derivativum ${\displaystyle f'}$ amplitudinem incrementi aut decrementi functionis ${\displaystyle f}$ indicat. Exempli gratia, crescit numerus incolarum Guianae magis a 1960 ad 1965 quam a 2010 ad 2015 (cf. imaginem). Ad hoc metiendum, incrementum numerare incolarum per annum opportet: cum sint fere 570 millia incolarum anno 1960 et 650 anno 1965, incrementum his quinque annis 80 millia est, hoc est ${\displaystyle {\frac {80}{5}}=16}$ millia per annum. Derivativum igitur a variatione definitur inter duas quantitates in ratione spatii ad aliam ex altera: haec prima approximatio derivativi index variationis dicitur. Si functio ${\displaystyle f}$ ad quemque annum numerum incolarum Guianae hoc anno destinat (ut e. g. ${\displaystyle f(1960)=570}$ millia), index variationis inter duos annos ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ est

${\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x)}{x_{2}-x}}}$

sive cum exemplo supra ${\displaystyle {\frac {f(1965)-f(1960)}{1965-1960}}={\frac {650-570}{1965-1960}}={\frac {80}{5}}=16}$ millia novorum incolarum per annum.

Calculus infinitesimalis

Derivativum functionis, ubi spatium ${\displaystyle dx}$ inter duas quantitates (${\displaystyle h}$ in imagine) minor minorque fit ad aequandum clivum lineae tangentis loco ${\displaystyle x}$.

Hoc tamen modo approximatio est derivativi, quod valor medius incrementi in intervallo quodam est nec amplitudo fluxionis functionis loco definito. Ad hoc emendandum spatium inter ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ minui opportet, ut index variationis propius derivativum loco ${\displaystyle x}$ sit. Hoc minimum nec nullum spatium ${\displaystyle dx}$ dicitur. Inde ${\displaystyle x_{2}}$ fit ${\displaystyle x+dx}$, et index variationis fit igitur

${\displaystyle {\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}}$

quod derivativum ${\displaystyle f'(x)}$ magis magisque appropinquat cum ${\displaystyle dx}$ minor minorque fiat. Hic processus mathematicus limes nominatur, quo aestimetur quaedam quantitas (hic derivativum ${\displaystyle f'(x)}$) cum altera ex qua pendet (hic ${\displaystyle dx}$) certum numerum appropinquet (hic 0) quamvis numquam ad eum perveniat.

Talis limes autem interdum definiri non potest (si infinitatem appropinquat aut secundum methodum computationis mutatur &c.) Inde functio quae derivativum habet, i.e. cui hic limes loco ${\displaystyle x}$ definitur, functio differentiabilis nominatur. Omnis functio differentiabilis est continua, sed sunt functiones continuae non differentiabiles.

In calculi infinitesimalis lingua, hoc saepe abbreviatur in

${\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)}$ ubi ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ differentialis operator dicitur.

Cum hac methodo, est e. g. derivativum functionis ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {(x+dx)^{2}-x^{2}}{dx}}}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {x^{2}+2xdx+dx^{2}-x^{2}}{dx}}}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {2xdx+dx^{2}}{dx}}}$

${\displaystyle f'(x)=2x+dx}$

${\displaystyle f'(x)=2x}$ quod ${\displaystyle dx}$ tam parvum est ut omitti possit.

Loco ${\displaystyle x=3}$, clivum lineae tangentis functionis ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ igitur ${\displaystyle f'(3)=2\times 3=6}$ est.

Fluxiones

Derivativum, cum variabilis ${\displaystyle x}$ functio sit temporis ${\displaystyle t}$, fluxio secundum Newtonum appellatur, quia ${\displaystyle f'}$ commutationis (aut variationis aut fluctuationis) celeritatem dat cuisdam quantitatis ${\displaystyle f}$. Scripsit quidem Newtonus:

Quantitates autem quas ut sensim crescentes indefinite considero, quo distinguam ab aliis quantitatibus quae in aequationibus quibuscunque pro determinatis et cognitis habendae sunt ac initialibus literis a, b, c, &c. designatur, posthac denominabo fluentes, ac designabo finalibus literis v, x, y, et z. Et celeritates quibus singulae a motu generante fluunt et augentur (quos possim fluxiones vel simpliciter celeritates vocitare) designabo literis l, m, n, et r. Nempe pro celeritate quantitatis v ponam l et sic pro celeritatibus aliarum quantitatam x, y, et z ponam m, n, et r respective. His praemissis e vestigio rem aggredior, imprimis duorum jam modo propositorum problematum solutionem exhibiturus.^[1]

Newtonus, ut fluxiones denotaret, punctis super variabilem usus est, ita:

${\displaystyle f'={\frac {df}{dt}}={\dot {f}}}$,

${\displaystyle f''={\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}={\ddot {f}}}$.

Contentio et historia

Postquam fere simul Newtonus methodum fluxionum et Leibnitius methodum differentialium seu infinitesimalium comminiscerunt, magna contentio coepit inter se super quaestionem, qui primus calculum reperiat. Newtonus quidem corde habuit intellegere quomodo quantitates physicae et earum celeritates et accelerationes compututentur ut leges motus ab experimentis inducantur; Leibnitius autem corde lineae tangentis computationem et metaphysicam motus explicationem.

Notio autem numeri infinitesimalis et fluxionis late problematica a mathematicis habetur. Et non fuit ante saeculum duodevicensimum cum vera calculi infinitesimalis fundamenta in notione limitum agnoscerentur.

Formulae utiles

Cum constante quantitate ${\displaystyle a}$ et functionibus differentiabilibus ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$:

• ${\displaystyle (a)'=0}$ (constans quantitas)^[2]
• ${\displaystyle [af(x)]'=af'(x)}$ (multiplicatio functionis cum constante quantitate)^[3]
• ${\displaystyle [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)}$ (additio functionum)^[4]
• ${\displaystyle [f(x)\times g(x)]'=f(x)\times g'(x)+g(x)\times f'(x)}$ (multiplicatio functionum)^[5]
• ${\displaystyle [f(g(x))]'=g'(x)\times f'(g(x))}$ (compositio functionum)^[6]
• ${\displaystyle (x^{a})'=ax^{a-1}}$ (potentia quantitatis ${\displaystyle x}$ cum constante exponente)

Exempli gratia sit ${\displaystyle f(x)=x^{2}(x^{3}+2)}$:

${\displaystyle f'(x)=(x^{2})'(x^{3}+2)+x^{2}(x^{3}+2)'}$ propter legem multiplicationis

${\displaystyle f'(x)=(x^{2})'(x^{3}+2)+x^{2}[(x^{3})'+(2)']}$ propter legem additionis

${\displaystyle f'(x)=2x(x^{3}+2)+x^{2}(3x^{2}+0)}$ propter legem potentiae et legem constantis quantitatis

${\displaystyle f'(x)=2x^{4}+4x+3x^{4}=5x^{4}+4x}$

Aequatio differentialis est aequatio in qua est derivativum functionis cuiusdam; solutio talis aequationis est vel functio ipsa vel approximatio valorum. Cum exemplo ${\displaystyle f'(x)=f(x)}$, si ${\displaystyle f(0)=1}$, solutio est functio exponentialis: ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$.

Notae

1. Isaacus Newtonus, De methodis serierum et fluxionum (1671).
2. quia ${\displaystyle (a)'={\frac {a-a}{dx}}=0}$
3. quia ${\displaystyle [af(x)]'={\frac {af(x+dx)-af(x)}{dx}}=a{\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}=af'(x)}$
4. quia ${\displaystyle [f(x)+g(x)]'={\frac {[f(x+dx)+g(x+dx)]-[f(x)+g(x)]}{dx}}={\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}+{\frac {g(x+dx)-g(x)}{dx}}=f'(x)+g'(x)}$
5. quia ${\displaystyle [f(x)\times g(x)]'={\frac {[f(x+dx)g(x+dx)]-[f(x)g(x)]}{dx}}={\frac {f(x+dx)g(x+dx)-f(x+dx)g(x)+f(x+dx)g(x)-f(x)g(x)}{dx}}}$
   ${\displaystyle =f(x+dx){\frac {g(x+dx)-g(x)}{dx}}+g(x){\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}=f(x)\times g'(x)+g(x)\times f'(x)}$
6. quia ${\displaystyle [f(g(x))]'={\frac {f(g(x+dx))-f(g(x))}{dx}}={\frac {dg}{dx}}\times {\frac {f(g(x)+dg)-f(g(x))}{dg}}=g'(x)\times f'(g(x))}$ cum ${\displaystyle dg=g(x+dx)-g(x)}$ (${\displaystyle dg}$ 0 appropinquat)

Bibliographia

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2 Februarii 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (octava ed.), Novi Eboraci: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5 
• Apostol, Tom M. (Iunius 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, 1 (secunda ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 
• Apostol, Tom M. (Iunius 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, 1 (secunda ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5 
• Courant, Richard; John, Fritz (22 Decembetis 1998), Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65058-4 
• Eves, Howard (2 Ianuarii 1990), An Introduction to the History of Mathematics (sexta ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4 
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (28 Februarii 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (quarta ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5 
• Spivak, Michael (September 1994), Calculus (tertia ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8 
• Stewart, James (24 Decembris 2002), Calculus (quinta ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7 
• Thompson, Silvanus P. (8 Septembris 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), Novi Eboraci: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0 

Alii libri

• Crowell, Benjamin (2017), Fundamentals of Calculus 
• Government of TN, TamilNadu Textbook Corporation (2006), Mathematics- vol.2 
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus, Universitas Minnesotensis 
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus 
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals 
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book 
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations 
• Strang, Gilbert (1991), Calculus 
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus 
• Wikibooks, Calculus