Aequatio

Aequatio^[1] est sententia mathematica quae dicit duas quantitates esse aequas. Omnes aequationes habent symbolum aequalitatis "=", sicut

${\displaystyle 2+3=5}$,

Aequatio in tabula representari potest. Hae tabulae monstrant aequationem quadraticam ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$, ubi quantitates a, b, c valores alios habent secundum colores: in prima imagine, a = 0 et b = 0; in seconda, a = 0 et c = 0; in tertia, b = 0 et c = 0. Figurae sunt parabolae.

Haec est de aequationibus mathematicis. Si de chemica quaeres, vide aequationem chemicam.

quod verbis dicitur "duo et tres sunt/aequant quinque," et

${\displaystyle x-x=0}$.

Si sententia dicit quantitatem aliquem maiorem vel minorem esse alia quantitate, est inaequatio, sicut

${\displaystyle 2+4>5}$ (hoc est, "duo et quattuor sunt maiores quam quinque").

Aequationes versus identitates

Aequationes supra sunt identitates mathematicae, aequationes quae sunt vera valoribus suarum partium neglectis. Aequatio cui non est identitas est:

${\displaystyle x+1=2}$,

quae quippe est falsa infinito numero valoris dato, et vera est solum si ${\displaystyle x=1}$. Aequationem solvere significat invenire unicum valorem vel valores quibus aequatio vera est.

Saepius litterae primae abecedarii, ut a, b, c, quantitates constantes nominant, et litterae ultimae, ut x, y, z, nominant quantitates variabiles quarum valores inveniendi. Exempli gratia,

${\displaystyle x+a=b}$ significat ${\displaystyle x=b-a}$,

in qua sententia scimus a et b et debemus solvere ut x sciamus.

Proprietates

Si aequatio noscitur vera esse, in eam operationes hae sequentes faciantur et veram etiam habeas:

1. Ullum valorem adde ambobus lateribus: si a = b, tum a + c = b + c.
2. Ullum valorem subtrahe de ambobus lateribus: si a = b, tum a - c = b - c.
3. Ambo latera multiplicentur ullo valore: si a = b, tum ac = bc.
4. Ambo latera dividantur ullo valore excluso zero: si a = b, et c ≠ 0, tum a/c = b/c.

Aequationis gradus et canonica forma

Canonica aequationis cuiusdam forma appellatur forma quae formam "polynomium = zero" habeat. Exempli gratia:

x+2=0 (primus gradus)

5x² - 9x + 17 = 0 (secundus gradus)

Gradus polynomii est denique etiam gradus aequationis.

Quomodo possumus solvere aequationes gradus secundi

Aequationes gradus secundi (aut aequationes quadraticae nominatae), quae habent formam

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$,

habent solutionem

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

ubi

1. si ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac>0}$, aequatio duas solutiones habet ambas reales,
2. si ${\displaystyle \Delta =0}$, aequatio tantum unam habet solutionem (aut melius, duas habet quae sunt concurrentes), denique,
3. si ${\displaystyle \Delta <0}$, aequatio duas distinctas solutiones complexas (partim realem et partim imaginariam) habet.

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$ dicitur discriminans formae.

Quomodo possumus solvere aequationes gradus terti

Ab-initio, consideratur aequationes gradus terti, quae habent formam

${\displaystyle y^{3}+qy+p=0}$,

Eae habent solutionem

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}};\quad v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$

ubi Delta est

${\displaystyle \Delta ={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$, positivus vel negativus est.

• Si ${\displaystyle \Delta }$ major est 0, calcolantur duos numeros reales ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ qui equali sunt sic:

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\Delta }}}};\quad v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\Delta }}}},}$

e solutiones equationes sunt:

${\displaystyle y_{1}=u+v;}$

${\displaystyle y_{2}=u\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+v\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right);}$

${\displaystyle y_{3}=u\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+v\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right).}$

• Se ${\displaystyle \Delta }$ minor ab 0 necesse est numerus complexus convertire

${\displaystyle -{\frac {q}{2}}+i{\sqrt {-\Delta }}}$

Nexus interni

• Aequatio differentialis
• Aequatio massae et energiae
• Diophantus
• Inaequatio
• Perfectio quadri
• Solutio aequationis
• Systema aequationum
• Hieronymus_Cardanus
• Quantitas_imaginaria

Nota

1. Die Streitschriften By Jakob Bernoulli, Jean Bernoulli, Herman Heine Goldstine, P. Radelet-de Grave (Anglice, Latine)

Nexus externi

• Machina quae aequationes et integralia describit
• EqWorld — sapientia de multis speciebus aequationum.
• EquationSolver