Combinatio linearis

In mathematica, combinatio linearis est summa copiae vectorum scalaribus quibusdam quorumque multiplicatorum.

Definitio

Sit spatium vectoriale ${\displaystyle V}$; combinatio linearis vectorum ${\displaystyle v_{1}...v_{k}}$ ex spatio ${\displaystyle V}$ coefficientibus ${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{n}\in \mathbb {R} }$, est is vector:

${\displaystyle \alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}\in V}$

Subspatium genitum

Si sunt vectores ${\displaystyle v_{1}...v_{n}}$, eorum subspatium genitum est copia universarum possibilium combinationum linearium eorum:

${\displaystyle Span(v_{1}...v_{n})=\{\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}:\alpha _{1}...\alpha _{n}\in \mathbb {R} \}}$

Potest demonstrari subspatium genitum esse subspatium vectoriale. Subspatium genitum enim clausum est summae:

${\displaystyle (\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n})+(\beta _{1}v_{1}+...+\beta _{n}v_{n})=(\alpha _{1}+\beta _{1})v_{1}+...+(\alpha _{n}+\beta _{n})v_{n}}$

quod rursus est combinatio linearis vectorum ${\displaystyle v_{1}...v_{n}}$.

Simili ratione, subspatium genitum clausum est multiplicationi scalaribus:

${\displaystyle \lambda (\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n})=(\lambda \alpha _{1})v_{1}+...+(\lambda \alpha _{n})v_{n}}$

quod est combinatio linearis ipsorum vectorum.

Subspatium genitum igitur est subspatium vectoriale, quia clausum est summae multiplicationique scalaribus.

Huius rei unum corollarium est systemati aequationum ${\displaystyle Ax=b}$ adesse solutiones modo si vector ${\displaystyle b}$ subspatio inest genito columnarum matricis ${\displaystyle A}$.

Independentia linearis

Dicitur copia vectorum ${\displaystyle v_{1}...v_{n}\in V}$ ex spatio vectoriali ${\displaystyle V}$ lineariter dependens si sunt coefficientes reales ${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{n}\in \mathbb {R} }$ quibus valeat:

${\displaystyle \alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}={\underline {0}}}$

neque sunt omnes nulli, ergo adest ${\displaystyle \alpha _{i}}$ unus vel plus qui non ${\displaystyle =0}$.

Nisi vectores sunt lineariter dependentes, lineariter independentes dicuntur, eisque modo valet ${\displaystyle \alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}={\underline {0}}}$ cum omnes coefficientes nulli sint: ${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{n}=0}$.

Independentia linearis vectorum aliquorum potest probari ex vectoribus faciendo matricem ${\displaystyle A=|v_{1}...v_{n}|}$ et systema aequationum solvendo ${\displaystyle Ax={\underline {0}}}$: cum enim sola solutio sit ${\displaystyle x={\underline {0}}}$, vectores sunt independentes, quod si adesset solutio ${\displaystyle \beta }$ quae non esset nulla, tum valuisset ${\displaystyle \beta _{1}v_{1}+...+\beta _{n}v_{n}=0}$, quae esset definitio independentiae linearis.

Vide etiam

• Vector (mathematica)
• Systema coordinatarum

Bibliographia

• Abate, De Fabritiis, 2015. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. McGraw Hill Education. ISBN 9788838615146.