Sunt duae definitiones continuitatis quae aequae sunt:
- Regula Epsilon-Delta[1]: continua in est, si
omnibus est , ut omnibus numeris dominii , qui obtemperent
, valeat .
- Regula sequentiarum[2]: est continua in , si, cum quaelibet sequentia posita est, quae ad convergit, etiam ad convergit.
Functio appellatur continua in , si est continua in locis omnibus dominii.
Si est , ubi functio continua non est, ibi discontinua appellatur.
Exempla
- Functiones et continuae sunt in .
- Functio signi
in omnibus locis continua est, sed loco 0 discontinua: limes laevus est −1, dexter autem +1 ideoque limes non est.
- Functio Dirichlet
- ubique discontinua est.
Illustratio functionum discontinuarum:
Functio discontinua
Functio quidem discontinua, sed tamen continua de laevo latere
Functio quidem discontinua, sed tamen continua de dextro latere
- Si functiones et continuae in dominio communi sunt, tum et et et continuae super sunt; si functioni g insuper nulli loci valoris 0 (id est: nullus est numerus ut ) sint, tum et continua est.
- Compositio duarum functionum continuarum est continua.
- Continuitas functionis inversae:
- Si est intervallum in et est functio continua, rigide crescens aut cadens, tum imago intervalli sub est intervallum ,
est biiectiva, et functio inversa est continua.
- Theorema valorum omnium acceptorum:
- Si est functio continua, cui et valet, tum omnibus numeris est , ut valeat.
- Item in casu et .
- Theorema extremitatum acceptarum:
- Si est functio continua, tum sunt numeri , ut
- omnibus numeris valeat.
Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. Definition 34.6
Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S. 212
Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 14. Auflage, Teubner 2012. ISBN 3-835-10208-7, pagina 230