기하학 에서 합동 (合同, Congruence )은 두 도형이 모양과 크기가 같음을 나타내는 관계이다. 즉, 두 도형을 점집합으로 생각할 때, 하나에 어떤 등거리 변환 에 대한 상 을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면, 두 도형이 합동이라고 한다. 서로 합동인 도형은 서로 닮음이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
왼쪽 두 도형은 합동이고, 왼쪽 세번째도형은 닮음 이다. 마지막 도형은 나머지와 닮음도 합동도 아니다.
삼각형의 합동
평면 삼각형 은 합동 조건 SAS, ASA, AAS를 갖지만, 합동 조건 SSA를 갖지 않는다.
두 삼각형이 합동이라면, 이 두 삼각형의 세 쌍의 변(의 길이) 및 세 쌍의 각(의 크기)은 각각 같다. 각 쌍의 변을 대응변 (對應邊, 영어 : corresponding sides )이라고 하며, 각 쌍의 각을 대응각 (對應角, 영어 : corresponding angles )이라고 한다.
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
와 삼각형
D
E
F
{\displaystyle DEF}
의 합동은 기호로 다음과 같이 나타낸다.
△
A
B
C
≅
△
D
E
F
{\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF}
단, 같은 위치의
A
{\displaystyle A}
와
D
{\displaystyle D}
,
B
{\displaystyle B}
와
E
{\displaystyle E}
,
C
{\displaystyle C}
와
F
{\displaystyle F}
는 대응점이어야 한다.[1] :5
두 삼각형
A
B
C
,
D
E
F
{\displaystyle ABC,DEF}
가 합동일 몇 가지 충분 조건 은 다음과 같다.
SSS(변변변): 만약
A
B
=
D
E
{\displaystyle AB=DE}
,
A
C
=
D
F
{\displaystyle AC=DF}
,
B
C
=
E
F
{\displaystyle BC=EF}
라면,
△
A
B
C
≅
△
D
E
F
{\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF}
이다. 즉, 두 삼각형의 세 쌍의 대응변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
SAS(변각변): 만약
A
B
=
D
E
{\displaystyle AB=DE}
,
A
C
=
D
F
{\displaystyle AC=DF}
,
∠
A
=
∠
D
{\displaystyle \angle A=\angle D}
라면,
△
A
B
C
≅
△
D
E
F
{\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF}
이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응변 및 그 사잇각이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
ASA(각변각): 만약
∠
A
=
∠
D
{\displaystyle \angle A=\angle D}
,
∠
B
=
∠
E
{\displaystyle \angle B=\angle E}
,
A
B
=
D
E
{\displaystyle AB=DE}
라면,
△
A
B
C
≅
△
D
E
F
{\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF}
이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응각 및 그 공공변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
AAS(각각변): 만약
∠
A
=
∠
D
{\displaystyle \angle A=\angle D}
,
∠
B
=
∠
E
{\displaystyle \angle B=\angle E}
,
B
C
=
E
F
{\displaystyle BC=EF}
라면,
△
A
B
C
≅
△
D
E
F
{\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF}
이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응각 및 그 공공변이 아닌 변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
RHS: 만약
∠
C
=
∠
F
=
90
∘
{\displaystyle \angle C=\angle F=90^{\circ }}
,
A
B
=
D
E
{\displaystyle AB=DE}
,
A
C
=
D
F
{\displaystyle AC=DF}
라면,
△
A
B
C
≅
△
D
E
F
{\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF}
이다. 즉, 두 직각 삼각형 의 빗변 과 한 직각변 이 각각 같다면, 두 직각 삼각형은 합동이다.
RHA: 만약
∠
C
=
∠
F
=
90
∘
{\displaystyle \angle C=\angle F=90^{\circ }}
,
A
B
=
D
E
{\displaystyle AB=DE}
,
∠
B
=
∠
E
{\displaystyle \angle B=\angle E}
라면,
△
A
B
C
≅
△
D
E
F
{\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF}
이다. 즉, 두 직각 삼각형 의 빗변 과 한 예각 이 각각 같다면, 두 직각 삼각형은 합동이다.
그러나, 다음 조건 가운데 하나를 만족시키는 두 삼각형
A
B
C
,
D
E
F
{\displaystyle ABC,DEF}
는 합동일 필요가 없다.
SSA(변변각): 만약
A
B
=
D
E
{\displaystyle AB=DE}
,
B
C
=
E
F
{\displaystyle BC=EF}
,
∠
C
=
∠
F
{\displaystyle \angle C=\angle F}
이더라도,
△
A
B
C
≆
△
D
E
F
{\displaystyle \triangle ABC\ncong \triangle DEF}
일 수 있다. 즉, 두 쌍의 대응변 및 그 사잇각이 아닌 한 쌍의 각이 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 다만, 이 각이 직각일 경우, RHS에 따라 합동이다.
AAA(각각각): 만약
∠
A
=
∠
D
{\displaystyle \angle A=\angle D}
,
∠
B
=
∠
E
{\displaystyle \angle B=\angle E}
,
∠
C
=
∠
F
{\displaystyle \angle C=\angle F}
이더라도,
△
A
B
C
≆
△
D
E
F
{\displaystyle \triangle ABC\ncong \triangle DEF}
일 수 있다. 즉, 세 쌍의 대응각기 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 다만 이 경우 두 삼각형은 서로 닮음 이다.
평면 삼각형 과 달리, 구면 삼각형 은 합동 조건 AA를 가지며, 합동 조건 AAS를 갖지 않는다.
Isaacs, I. Martin (2001). 《 Geometry for College Students》 . The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4 .