함수의 그래프

수학에서, 함수의 그래프(영어: graph)는 정의역의 값과 그에 대한 함수 값을 좌표로 하는 점들로 이루어진 그림이다.

함수 ${\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+3y^{2})\exp(1-x^{2}-y^{2})}$의 그래프

정의

함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$의 그래프는 정의역과 공역의 곱집합의 다음과 같은 부분 집합이다.

${\displaystyle \operatorname {graph} f=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y}$

${\displaystyle m}$차원 실수 벡터의 유클리드 공간의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$과 ${\displaystyle n}$차원 실수 벡터의 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon S\to \mathbb {R} ^{n}}$의 그래프는 ${\displaystyle m+n}$차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}}$의 부분 집합이다. 특히, 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$의 그래프는 평면 위에서 나타낼 수 있으며, 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$의 그래프는 3차원 공간 위에서 나타낼 수 있다.

성질

만약 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$가 위상 공간이며 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 연속 함수라면, ${\displaystyle x\mapsto (x,f(x))}$는 ${\displaystyle X\to X\times Y}$ 매장이며, ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$는 ${\displaystyle X}$와 위상 동형이다. 만약 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$가 매끄러운 다양체이며 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 매끄러운 함수라면, ${\displaystyle x\mapsto (x,f(x))}$는 ${\displaystyle X\to X\times Y}$ 매끄러운 매장이며, ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$는 ${\displaystyle X}$와 미분 동형이다.

닫힌집합일 조건

위상 공간 ${\displaystyle Y}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle Y}$는 하우스도르프 공간이다.
• 임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {graph} f\subseteq X\times Y}$는 닫힌집합이다.

만약 ${\displaystyle Y}$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 연속 함수이다.
• ${\displaystyle \operatorname {graph} f\subseteq X\times Y}$는 닫힌집합이다.

예

• 
  함수 ${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$의 그래프
• 
  함수 ${\displaystyle f(x)=x^{4}-4^{x}}$의 그래프
• 
  함수 ${\displaystyle f(x,y)=\sin x^{2}\cos y^{2}}$의 그래프
• 
  함수 ${\displaystyle f(x,y)=-(\cos x^{2}+\cos y^{2})^{2}}$의 그래프

같이 보기

• 점근선
• 차트
• 오목함수
• 볼록 함수
• 등치선
• 임계점 (수학)
• 미분
• 기울기

참고 문헌

• Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.

외부 링크

• “Graph of a mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Function graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Examples for Plotting & Graphics”. 《Wolfram Alpha》 (영어).
  • 다양한 함수의 그래프의 예시