푸앵카레 쌍대성

대수적 위상수학에서 푸앵카레 쌍대성(Poincaré雙對性, 영어: Poincaré duality)은 호몰로지 군과 코호몰로지 군에 대한 대응성이다.

정의

정수 계수

${\displaystyle M}$이 (경계가 없는) 콤팩트 ${\displaystyle n}$차원 유향 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 방향은 기본류

${\displaystyle [M]\in \operatorname {H} _{n}(M;\mathbb {Z} )}$

를 정의한다.

그렇다면, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(M;\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [\alpha ]\mapsto [M]\smile [\alpha ]}$

여기서 ${\displaystyle \smile }$은 호몰로지류와 코호몰로지류의 합곱이다.

이 사상은 아벨 군의 동형 사상을 이루며, 이를 푸앵카레 쌍대성이라고 한다.

베티 수 ${\displaystyle b_{k}}$는 호몰로지 및 코호몰로지의 차원이므로, 다음이 성립한다.

${\displaystyle b_{k}=b_{n-k}}$.

정수 계수에서 성립하므로, 사실 위의 푸앵카레 쌍대성은 임의의 아벨 군 계수에 대하여 마찬가지로 성립한다.

𝔽₂ 계수

${\displaystyle M}$이 (경계가 없는) 콤팩트 ${\displaystyle n}$차원 다양체 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자. (${\displaystyle M}$이 가향 다양체일 필요가 없다.)

이 경우, 기본류는 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 계수에서 잘 정의된다.

${\displaystyle [M]\in \operatorname {H} _{n}(M;\mathbb {F} _{2})}$

이 경우, 마찬가지로 다음과 같은, ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$-벡터 공간의 동형 사상이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(M;\mathbb {F} _{2})\to \operatorname {H} _{n-k}(M;\mathbb {F} _{2})}$

${\displaystyle [\alpha ]\mapsto [M]\smile [\alpha ]}$

성질

짝수 ${\displaystyle 2k}$차원 콤팩트 다양체 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자. 또한, 다음과 같은 두 경우를 생각하자.

• ${\displaystyle K=\mathbb {Z} }$이며, ${\displaystyle M}$은 유향 다양체
• ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{2}}$

두 경우 다 기본류 ${\displaystyle [M]\in \operatorname {H} _{2k}(M;K)}$가 존재한다. 이 경우, 푸앵카레 쌍대성에 의하여, ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle \operatorname {H} _{k}(M;K)}$ 위에 다음과 같은 이차 형식이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{k}(M;K)\otimes \operatorname {H} _{k}(M;K)\to K}$

${\displaystyle ([M]\smile [\alpha ])\otimes ([M]\smile [\beta ])\mapsto [M]\smile ([\alpha ]\frown [\beta ])}$

이를 ${\displaystyle M}$의 교차 형식(영어: intersection form)이라고 한다.

역사

앙리 푸앵카레가 1893년에 베티 수에 대한 관계로 제시하였다. 푸앵카레는 1895년에 푸앵카레 쌍대성의 증명을 발표하였으나,^[1] 덴마크의 수학자 포울 헤고르(덴마크어: Poul Heegaard)가 오류를 지적하였다. 푸앵카레는 이 논문의 속편에서 수정한 다른 증명을 발표하였다.

1930년대에 코호몰로지가 발견되면서, 푸앵카레 쌍대성이 베티 수를 넘어서 호몰로지와 코호몰로지 사이의 관계라는 사실이 밝혀졌다.

같이 보기

• 브뤼아 분해
• 기본류
• 바일 군

각주

1. Henri Poincaré, Analysis Situs, Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895) pages 1–123.

• “Poincaré duality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Poincaré duality”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Poincaré duality”. 《nLab》 (영어).