펜로즈 테셀레이션
평면의 비주기적 타일링 / From Wikipedia, the free encyclopedia
펜로즈 타일링(영어: Penrose tiling)은 비주기적 테셀레이션 중 하나이다. 여기에서 '테셀레이션'이란 같은 모양으로 겹치거나 빈틈이 없게 평면을 채우는 것이고, '비주기적'이란 테셀레이션 중 일부를 골라서 회전 이동하지 않고 평행 이동만 했을 때 모양이 같을 수 없다는 것이다. 평행 이동 대칭이 아니지만 반사 대칭과 5차 회전 대칭이다. 펜로즈 타일링은 수학자이자 물리학자인 로저 펜로즈가 1970년에 연구로 발견했다.
여러 모양의 타일을 가진 펜로즈 타일링을 몇 가지로 변형할 수 있다. 펜로즈 타일링은 처음에 4가지 모양의 타일을 사용했지만 2개로 줄어든다. (마름모 2개 또는 카이트와 다트) 펜로즈 타일링은 타일의 모양을 서로 맞도록 조건을 걸어서 만들 수 있는데, 이때 연결 규칙, 타일 대체하기, 유한한 분할 규칙, 잘라서 사영하기 방법, 덮기 등을 이용한다. 이렇게 만들어진 다음에도, 각각의 변형으로 무수히 많은 펜로즈 타일링을 만들 수 있다.
펜로즈 타일링은 자기유사성이 있어서, '늘리기'와 '줄이기'라는 과정을 거치면 타일의 크기는 다르지만 모양은 처음과 같도록 바꿀 수 있다. 크기가 유한한 타일 묶음의 패턴이 테셀레이션 전체에서 무수히 많이 나타난다. 펜로즈 타일링은 준결정 모양이며, 물리학적인 구조로써 브래그 곡선과 5차 회전 대칭성이 있는 회절 무늬와 같다. 패턴의 반복이 나타나고 타일의 위치가 정해져 있다.[1] 이러한 테셀레이션을 연구하는 것은 준결정을 형성하는 물리학적 재료를 이해하는 데 중요하다.[2] 펜로즈 타일링은 다음 그림의 바닥 타일링과 같이 건축, 장식 등에도 적용되고 있다.