파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다.
: 에르미트 행렬
: 유니타리 행렬
여기서
는 단위행렬이다.
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파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이기 때문에 아래 성질이 성립한다.

파울리 행렬의 행렬식과 대각합의 값은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&-1&\\[1ex]\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0&\quad {\hbox{for}}\ i=1,2,3\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ed5427c4ef3328567865f094d0adf6710a2382)
이로부터, 파울리행렬의 고윳값은 ±1 임을 알 수 있다.
파울리 행렬은 다음과 같은 교환관계와 반대바꿈관계를 가진다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{a},\sigma _{b}]&=&2i\sum _{c}\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}\\[1ex]\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}&=&2\delta _{ab}\cdot I\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3cf7e1580c5c67c39d7f7c4fb56ff2e9966992a)
여기서 εabc는 레비치비타 기호, δab는 크로네커 델타이며,
는 리 괄호이다.
위의 두 관계를 요약하면 다음과 같다.
.
예를 들어, 몇몇 값을 구해보면

이다.
또한, 위 행렬 3개를 한번에 벡터로 모아 파울리 벡터(Pauli vector)로 사용하기도 하는데, 자세한 정의는 다음과 같다.

교환관계식을 이용하면 파울리 벡터와 교환법칙이 성립하는 임의의 벡터 a와 b에 대해 다음과 같은 성질을 가짐을 알 수 있다.

또한, 임의의 벡터 a와 그 방향 단위벡터
, 그 벡터의 길이 a에 대해 아래의 관계가 성립한다.
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,
...
증명 |
먼저 임의의 짝수에 대한 거듭제곱에 대해

이 성립함을 알 수 있지만, 홀수에 대한 거듭제곱에 대해서는

임을 알 수 있다. 이 두 사실과, 지수함수와 사인, 코사인 함수와의 관계
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를 이용하고 x에

을 대입하면,


을 얻는다. 여기서 왼쪽의 합은 코사인, 오른쪽의 합은 사인 함수의 급수 형태임을 알 수 있다. 따라서,

이다. |
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