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위그너 분류(영어: Wigner’s classification)는 입자를 그 푸앵카레 표현에 따라 분류하는 방법이다.[1][2] 유진 위그너가 1939년에 도입하였다.[3][4]
푸앵카레 군은 두 개의 카시미르 불변량을 갖는다. 이는 질량 과 파울리-루반스키 벡터의 제곱 다. 이를 이용하여 입자를 분류할 수 있다.
인 경우다. 이 때는 인 경우 (즉 정지틀에서는) 안정자군은 SO(3) (또는 페르미온의 경우 그 2겹 피복 Spin(3))이다. 따라서 유질량 입자는 양의 실수 과 Spin(3)=SU(2)의 표현으로 나타낸다. SU(2)의 표현은 정수 또는 반홀수(half-integer) 0, ½, 1, 1½ 등으로 나타낸다.
, 인 경우다. 이 때는 , , 인 경우를 생각하자. 이 때는 그 안정자군은 유클리드 군 다. 의 표현은 반정수의 나선도로 나타내어지는 것과 연속적인 실수로 나타내어지는 것이 있다. 후자는 연속 스핀 표현(continuous-spin representation)이라고 하며,[5] 자연계에 존재하지 않는다.
인 경우는 타키온이다. 자연계에 존재하지 않는다.
, 인 경우다. 이 경우에는 표현은 단 하나밖에 없으며, 진공을 나타낸다.
3차원에서는 애니온이 존재하므로, 위그너 분류가 고차원과 다르다.[6]
이 경우, 카시미르 연산자는 다음과 같다.
여기서 은 불변 질량이며, 는 상대론적 나선도(relativistic helicity)이다. 나선도 는 무질량 입자의 경우 정의되지 않는다. 이 경우, 음이 아닌 에너지를 가진 표현의 분류는 다음과 같다.
민코프스키 공간에서의 초대칭을 나타내는 초 푸앵카레 군에 대해서도 위그너 표현이 존재한다. 이는 베르너 남이 1978년 발표하였고,[7] 초다중항들에 해당한다.
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