기하학 에서 원 (圓, 영어 : circle )은 평면 위의 한 점 에 이르는 거리 가 일정한 평면 위의 점들의 집합 으로 정의되는 도형이다. 이러한 점을 원의 중심 이라고 하고, 중심과 원 위의 점을 잇는 선분 또는 이들의 공통된 길이를 원의 반지름 이라고 한다.
원 원은 이차 곡선 의 일종인 타원 에서 이심률 이 0인 경우이다.
현, 지름, 반지름, 할선, 접선 호, 활꼴, 부채꼴 원과 관련된 기본적인 용어들은 다음과 같다.
단위원 동심원 반원 평각 인 부채꼴(활꼴)반지름 점 을 잇는 선분 또는 그 선분의 길이. 반지름의 길이는 지름의 2분의 1이다.부채꼴 사분원 직각 인 부채꼴원주 원주각 원판 원환 동심원 으로 둘러싸인 도형접선 접현각 중심 중심각 지름 켤레호 할선 현 호 활꼴 시
기원전 5세기 경 안티폰 은 정다각형 의 변 수를 계속 늘려가면 결국엔 원이 된다고 생각했다. 이에 15세기 독일의 신학자 니콜라우스 는 아무리 변을 늘려도 원이 될 수는 없다는 사상으로 반박했다.
중심이 (2, 1) 이고 반지름이 3인 원 2차원 데카르트 좌표계 위의 중심이
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
r
{\displaystyle r}
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
이다.[1] :22, §3 피타고라스 정리 를 통해 유도된다.
2차원 데카르트 좌표계 위의 원의 방정식의 일반적인 꼴은
x
2
+
y
2
+
d
x
+
e
y
+
f
=
0
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+dx+ey+f=0}
이다. 단,
d
,
e
,
f
{\displaystyle d,e,f}
실수 이며,
d
2
+
e
2
−
f
>
0
{\displaystyle d^{2}+e^{2}-f>0}
이어야 한다.[1] :23, §3.2 한원소 집합 이 되고, '<0'일 경우 공집합 이 된다.[1] :24, §3.2, Example 3.2
평면 위의 모든 원은 적절한 데카르트 좌표계를 취했을 때
x
2
+
y
2
=
r
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
와 같은 표준적인 방정식으로 표현된다. 단,
r
>
0
{\displaystyle r>0}
2차원 데카르트 좌표계 위의 중심이
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
r
{\displaystyle r}
매개변수 방정식 을 갖는다.[1] :23, §3.2, (3.5)
x
=
a
+
r
cos
t
y
=
b
+
r
sin
t
(
0
≤
t
<
2
π
)
{\displaystyle {\begin{matrix}x=a+r\cos t\\y=b+r\sin t\end{matrix}}\qquad (0\leq t<2\pi )}
여기서
cos
,
sin
{\displaystyle \cos ,\sin }
코사인 함수 와 사인 함수 이고,
t
{\displaystyle t}
2차원 데카르트 좌표계 위에서, 원
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
의
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
접선 의 방정식은
(
x
0
−
a
)
(
x
−
a
)
+
(
y
0
−
b
)
(
y
−
b
)
=
r
2
{\displaystyle (x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}}
이다.
원
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
의 기울기가
m
{\displaystyle m}
y
−
b
=
m
(
x
−
a
)
±
r
m
2
+
1
{\displaystyle y-b=m(x-a)\pm r{\sqrt {m^{2}+1}}}
이다.
원은 지름에 대한 반사 와 원의 중심에 대한 회전 에 대하여 대칭이다.[2] :227, §20.1, Theorem 20.3 즉, 원의 대칭군 은 2차원 직교군
O
(
2
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {O} (2,\mathbb {R} )}
임의의 두 원은 서로 중심 닮음 이며, 동심원 이 아닐 경우 두 원의 중심을 잇는 선분의 반지름의 비에 따른 내분점 및 외분점을 닮음 중심 으로 갖는다.[3] :19, §25 반지름의 길이가 같은 모든 원은 서로 합동 이다.[4] :23, §1F
공선점 이 아닌 세 점을 지나는 원은 항상 유일하게 존재한다.[4] :23, §1F, Theorem 1.15 즉, 모든 삼각형 의 외접원 은 유일하게 존재한다.
즉, 임의의 세 점을 지나는 일반화 원 은 항상 유일하게 존재한다. 현의 수직 이등분선 은 원의 중심을 지난다.[2] :227, §20.1, Theorem 20.2 즉, 현에 수직인 지름은 현을 이등분한다.[2] :227, §20.1, Theorem 20.2
즉, 지름이 아닌 현을 이등분하는 지름은 현에 수직이다.[2] :227, §20.1, Theorem 20.2
지름은 원의 가장 긴 현이다.[4] :23, §1F
(방멱 정리 ) 원 위에 있지 않은 점
P
{\displaystyle P}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
D
{\displaystyle D}
P
A
⋅
P
B
=
P
C
⋅
P
D
{\displaystyle PA\cdot PB=PC\cdot PD}
[4] :47, §1H, Theorem 1.35
원 위의 점과 현 사이의 거리와 지름의 곱은 점과 현의 양 끝점 사이의 거리의 곱과 같다.[3] :71, §101 두 원의 위치 관계는 두 원의 반지름
R
,
r
{\displaystyle R,r}
d
{\displaystyle d}
만약
d
>
R
+
r
{\displaystyle d>R+r}
d
<
|
R
−
r
|
{\displaystyle d<|R-r|}
만약
d
>
R
+
r
{\displaystyle d>R+r}
만약
d
<
|
R
−
r
|
{\displaystyle d<|R-r|}
만약
d
=
R
+
r
{\displaystyle d=R+r}
d
=
|
R
−
r
|
{\displaystyle d=|R-r|}
만약
d
=
R
+
r
{\displaystyle d=R+r}
만약
d
=
|
R
−
r
|
{\displaystyle d=|R-r|}
만약
|
R
−
r
|
<
d
<
R
+
r
{\displaystyle |R-r|<d<R+r}
주어진 호에 대한 원주각 의 크기는 그 호에 대한 중심각 의 1/2이다.[4] :25, §1F, Theorem 1.16
같은 호에 대한 두 원주각의 크기는 서로 같다.[4] :25, §1F
켤레호 에 대한 두 중심각은 서로 보각 이다.
즉, 내접 사각형 의 두 대각은 서로 보각 이다.[4] :26, §1F, Corollary 1.17
즉, 내접 사각형의 외각의 크기는 내대각 과 같다. (탈레스 정리 ) 지름에 대한 원주각은 직각이다.
즉, 삼각형의 외심 이 변 위에 있을 필요충분조건은 직각 삼각형 이다.[4] :30, §1F, Corollary 1.22
원의 두 현이 원 내부에서 이루는 각의 크기는 이 각과 맞꼭지각 의 내부에 포함되는 두 호에 대한 중심각의 합의 1/2이다.[4] :27, §1F, Corollary 1.19
원의 두 할선이 원 외부에서 이루는 각의 크기는 이 각의 내부에 포함되는 두 호에 대한 중심각의 차의 1/2이다.[4] :27, §1F, Corollary 1.18 원 위의 한 점을 지나는 원의 접선은 유일하게 존재하고, 이는 이 점을 지나는 반지름에 수직이다.[2] :228, §20.1, Theorem 20.4 [4] :30-31, §1F 즉, 반지름의 반지름 끝점에서의 수선은 원에 접한다.[2] :228, §20.1, Theorem 20.4
즉, 원의 접선의 접점에서의 수선은 원의 중심을 지난다.
원 외부의 한 점을 지나는 원의 접선은 정확히 2개이고, 이 점과 두 접점 사이의 거리는 같으며, 두 접선이 이루는 각과 두 접점을 지나는 반지름이 이루는 각은 서로 보각이다.
원의 접현각 의 크기는 현을 기준으로 이와 같은 쪽에 있는 호에 대한 중심각의 1/2이다.[4] :31, §1F, Theorem 1.23
원의 접선과 할선이 원 외부에서 이루는 각은 각의 내부에 포함된 두 호의 중심각의 차의 1/2이다.[4] :31, §1F, Corollary 1.24
외접하는 두 원의 교점을 지나는 두 공통 할선 사이의 두 현은 서로 평행 한다.[4] :31, §1F, Problem 1.25
(접선에 대한 방멱 정리 )원 외부의 점
P
{\displaystyle P}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
T
{\displaystyle T}
P
A
⋅
P
B
=
P
T
2
{\displaystyle PA\cdot PB=PT^{2}}
두 원의 교점에서의 두 접선이 서로 수직 일 경우 두 원이 서로 직교 한다고 한다.[3] :33, §48
두 원의 반지름이
r
,
r
′
{\displaystyle r,r'}
d
{\displaystyle d}
r
2
+
r
′
2
=
d
2
{\displaystyle r^{2}+{r'}^{2}=d^{2}}
[3] :34, §48
주어진 원에 직교하고 중심이 원 외부의 주어진 점인 원은 유일하게 존재한다.[3] :34, §48
주어진 원에 직교하고 원의 지름이 아닌 현의 두 끝점을 지나는 원은 유일하게 존재한다.[3] :34, §48
원적 문제 는 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 컴퍼스와 자로 작도하는 문제를 일컫는다. 이는 원주율
π
{\displaystyle \pi }
초월수 이므로 불가능하다.
모든 삼각형은 유일한 내접원 및 외접원 과 정확히 3개의 방접원 을 갖는다. 그러나, 일반적으로 다각형 은 내접원이나 외접원을 가질 필요가 없다. 어떤 다각형이 모든 변에 접하는 원을 가질 경우, 이 다각형을 외접 다각형 이라고 한다. 어떤 다각형이 모든 꼭짓점을 지나는 원을 가질 경우, 이 다각형을 내접 다각형 이라고 한다. 동시에 외접 다각형이며 내접 다각형인 다각형을 이중중심 다각형 이라고 한다. 예를 들어, 모든 삼각형과 모든 정다각형 은 이중중심 다각형이다.
주어진 원의 내접
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
[4] :35, §1G
에드윈 A. 애보트의 공상 수학 소설 《플랫랜드 》에서는 원이 성직자 로 출현하며, 평면도형들 중 가장 고귀한 계급으로 여겨진다.
Gibson, C. G. (2003). 《 Elementary Euclidean geometry》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83448-3 Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《 Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.
Isaacs, I. Martin (2001). 《 Geometry for College Students》 . The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4
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